Theorem pncan2d 10999

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 10893	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535   + caddc 10540   − cmin 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  12885  fzocatel  13102  expaddzlem  13473  hashf1lem2  13815  imval2  14510  clim2ser  15011  serf0  15037  fsumrev2  15137  geolim2  15227  mertenslem2  15241  bpolydiflem  15408  dvdsadd2b  15656  sadadd3  15810  mulgdirlem  18258  coe1tmmul2fv  20446  coe1pwmulfv  20448  cnsubrg  20605  reperflem  23426  reconnlem2  23435  ioorcl2  24173  uniioombllem3  24186  lhop1lem  24610  dvfsumabs  24620  ftc1lem1  24632  itgparts  24644  itgsubstlem  24645  coe1mul3  24693  coemulhi  24844  abelthlem6  25024  efif1olem4  25129  efopn  25241  dcubic2  25422  birthdaylem2  25530  lgamcvg2  25632  chtdif  25735  lgsquadlem1  25956  2sqmod  26012  dchrisumlem1  26065  dchrisumlem2  26066  dchrisum0lem1b  26091  pntrlog2bndlem1  26153  pntrlog2bndlem2  26154  axsegconlem9  26711  axpaschlem  26726  cycpmco2lem3  30770  cycpmco2lem4  30771  cycpmco2lem5  30772  cycpmco2lem6  30773  cycpmco2  30775  archiabllem1a  30820  probdif  31678  ballotlemsi  31772  knoppndvlem14  33864  knoppndvlem16  33866  bj-bary1lem1  34595  ftc1anc  34990  jm2.27c  39624  jm3.1lem2  39635  radcnvrat  40666  binomcxplemdvbinom  40705  binomcxplemnotnn0  40708  mccllem  41898  ioodvbdlimc1lem2  42237  stirlinglem5  42383  fourierdlem7  42419  fourierdlem19  42431  fourierdlem26  42438  fourierdlem42  42454  fourierdlem63  42474  fourierdlem65  42476  fourierdlem79  42490  fourierdlem89  42500  fourierdlem90  42501  fourierdlem91  42502  fourierdlem101  42512  fourierdlem112  42523  qndenserrnbllem  42599