MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan2d 10606
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
pncan2d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 pncan2 10500 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6814  cc 10146   + caddc 10151  cmin 10478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-sub 10480
This theorem is referenced by:  2txmxeqx  11361  xov1plusxeqvd  12531  fzocatel  12746  expaddzlem  13117  hashf1lem2  13452  swrdccat2  13678  imval2  14110  clim2ser  14604  serf0  14630  fsumrev2  14733  geolim2  14821  mertenslem2  14836  mertens  14837  bpolydiflem  15004  eirrlem  15151  dvdsadd2b  15250  bitsmod  15380  sadadd3  15405  mulgdirlem  17793  coe1tmmul2fv  19870  coe1pwmulfv  19872  cnsubrg  20028  reperflem  22842  reconnlem2  22851  ioorcl2  23560  uniioombllem3  23573  lhop1lem  23995  dvfsumabs  24005  ftc1lem1  24017  itgparts  24029  itgsubstlem  24030  coe1mul3  24078  coemulhi  24229  abelthlem6  24409  efif1olem4  24511  efopn  24624  dcubic2  24791  log2tlbnd  24892  birthdaylem2  24899  jensenlem2  24934  fsumharmonic  24958  lgamcvg2  25001  chtdif  25104  chtublem  25156  bposlem9  25237  lgsquadlem1  25325  dchrisumlem1  25398  dchrisumlem2  25399  dchrisum0lem1b  25424  selberg2lem  25459  logdivbnd  25465  pntrsumo1  25474  pntrsumbnd2  25476  pntrlog2bndlem1  25486  pntrlog2bndlem2  25487  pntrlog2bndlem6  25492  pntpbnd1a  25494  axsegconlem9  26025  axpaschlem  26040  2sqmod  29978  archiabllem1a  30075  probdif  30812  ballotlemsi  30906  dnizphlfeqhlf  32793  knoppndvlem14  32843  knoppndvlem16  32845  bj-bary1lem1  33490  ftc1anc  33824  jm2.27c  38094  jm3.1lem2  38105  radcnvrat  39033  binomcxplemdvbinom  39072  binomcxplemnotnn0  39075  fzisoeu  40031  supxrgelem  40069  mccllem  40350  ioodvbdlimc1lem2  40668  stirlinglem5  40816  fourierdlem7  40852  fourierdlem19  40864  fourierdlem26  40871  fourierdlem42  40887  fourierdlem63  40907  fourierdlem65  40909  fourierdlem79  40923  fourierdlem89  40933  fourierdlem90  40934  fourierdlem91  40935  fourierdlem101  40945  fourierdlem112  40956  qndenserrnbllem  41035  sigarcol  41577  dignn0flhalflem1  42937
  Copyright terms: Public domain W3C validator