MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan2d 10245
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
pncan2d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 pncan2 10139 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
41, 2, 3syl2anc 690 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6527  cc 9790   + caddc 9795  cmin 10117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-sub 10119
This theorem is referenced by:  2txmxeqx  10996  xov1plusxeqvd  12145  fzocatel  12354  expaddzlem  12720  hashf1lem2  13049  swrdccat2  13256  imval2  13685  clim2ser  14179  serf0  14205  fsumrev2  14302  geolim2  14387  mertenslem2  14402  mertens  14403  bpolydiflem  14570  eirrlem  14717  dvdsadd2b  14812  bitsmod  14942  sadadd3  14967  mulgdirlem  17341  coe1tmmul2fv  19415  coe1pwmulfv  19417  cnsubrg  19571  reperflem  22361  reconnlem2  22370  ioorcl2  23063  uniioombllem3  23076  lhop1lem  23497  dvfsumabs  23507  ftc1lem1  23519  itgparts  23531  itgsubstlem  23532  coe1mul3  23580  coemulhi  23731  abelthlem6  23911  efif1olem4  24012  efopn  24121  dcubic2  24288  log2tlbnd  24389  birthdaylem2  24396  jensenlem2  24431  fsumharmonic  24455  lgamcvg2  24498  chtdif  24601  chtublem  24653  bposlem9  24734  lgsquadlem1  24822  dchrisumlem1  24895  dchrisumlem2  24896  dchrisum0lem1b  24921  selberg2lem  24956  logdivbnd  24962  pntrsumo1  24971  pntrsumbnd2  24973  pntrlog2bndlem1  24983  pntrlog2bndlem2  24984  pntrlog2bndlem6  24989  pntpbnd1a  24991  axsegconlem9  25523  axpaschlem  25538  2sqmod  28785  archiabllem1a  28882  probdif  29615  ballotlemsi  29709  dnizphlfeqhlf  31442  knoppndvlem14  31492  knoppndvlem16  31494  bj-bary1lem1  32134  ftc1anc  32459  jm2.27c  36388  jm3.1lem2  36399  radcnvrat  37331  binomcxplemdvbinom  37370  binomcxplemnotnn0  37373  fzisoeu  38251  supxrgelem  38291  mccllem  38461  ioodvbdlimc1lem2  38619  stirlinglem5  38768  fourierdlem7  38804  fourierdlem19  38816  fourierdlem26  38823  fourierdlem42  38839  fourierdlem63  38859  fourierdlem65  38861  fourierdlem79  38875  fourierdlem89  38885  fourierdlem90  38886  fourierdlem91  38887  fourierdlem101  38897  fourierdlem112  38908  qndenserrnbllem  38987  sigarcol  39499  dignn0flhalflem1  42202
  Copyright terms: Public domain W3C validator