Theorem cdleme22cN 37510

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 5th line on p. 115. Show that t ∨ v =/= p ∨ q and s ≤ p ∨ q implies ¬ v ≤ p ∨ q. (Contributed by NM, 3-Dec-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme22.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme22.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme22.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme22.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme22.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdleme22cN	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ¬ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem cdleme22cN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11l 1280	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 36532	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp12l 1282	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		simp13 1201	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
5		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		cdleme22.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7		cdleme22.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	5, 6, 7	hlatjcl 36535	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
9	1, 3, 4, 8	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
10		simp11r 1281	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
11		cdleme22.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12	5, 11	lhpbase 37166	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
14		cdleme22.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
15		cdleme22.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
16	5, 14, 15	latmle2 17670	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
17	2, 9, 13, 16	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
18		simp21r 1287	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)
19		nbrne2 5072	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ≠ 𝑆)
20	17, 18, 19	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ≠ 𝑆)
21		simp32l 1294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉))
22	21	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉))
23	1	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
24	10	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
25		simpl12 1245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
26		simpl13 1246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
27		simp31l 1292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
28	27	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑃 ≠ 𝑄)
29		simp23l 1290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑉 ∈ 𝐴)
30	29	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑉 ∈ 𝐴)
31		simp23r 1291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑉 ≤ 𝑊)
32	31	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑉 ≤ 𝑊)
33		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
34		eqid 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
35	14, 6, 15, 7, 11, 34	cdleme22aa 37507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑉 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊))
36	23, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 33, 35	syl233anc 1395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑉 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊))
37	36	oveq2d 7158	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑇 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)))
38	22, 37	breqtrd 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑆 ≤ (𝑇 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)))
39		simp32r 1295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
40	39	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
41		simp21l 1286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
42	5, 7	atbase 36457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
44		simp22 1203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑇 ∈ 𝐴)
45		simp12r 1283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
46	14, 6, 15, 7, 11	lhpat 37211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴)
47	1, 10, 3, 45, 4, 27, 46	syl222anc 1382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴)
48	5, 6, 7	hlatjcl 36535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴) → (𝑇 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
49	1, 44, 47, 48	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑇 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
50	5, 14, 15	latlem12 17671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 ≤ (𝑇 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
51	2, 43, 49, 9, 50	syl13anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑆 ≤ (𝑇 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
52	51	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → ((𝑆 ≤ (𝑇 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
53	38, 40, 52	mpbi2and 710	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
54		simp31r 1293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑆 ≠ 𝑇)
55	41, 44, 54	3jca 1124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇))
56		simp33 1207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))
57	56, 21, 39	3jca 1124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
58	14, 6, 15, 7, 11	cdleme22b 37509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))) → ¬ 𝑇 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
59	1, 55, 3, 4, 27, 29, 57, 58	syl232anc 1393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ¬ 𝑇 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
60		hlatl 36528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
61	1, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝐾 ∈ AtLat)
62		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
63	5, 14, 15, 62, 7	atnle 36485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑇 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑇 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = (0.‘𝐾)))
64	61, 44, 9, 63	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (¬ 𝑇 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑇 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = (0.‘𝐾)))
65	59, 64	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑇 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = (0.‘𝐾))
66	65	oveq1d 7157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑇 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) = ((0.‘𝐾) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)))
67	5, 7	atbase 36457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
68	44, 67	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
69	5, 14, 15	latmle1 17669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
70	2, 9, 13, 69	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
71	5, 14, 6, 15, 7	atmod4i1 37034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → ((𝑇 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) = ((𝑇 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
72	1, 47, 68, 9, 70, 71	syl131anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑇 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) = ((𝑇 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
73		hlol 36529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
74	1, 73	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝐾 ∈ OL)
75	5, 15	latmcl 17645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
76	2, 9, 13, 75	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
77	5, 6, 62	olj02 36394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊))
78	74, 76, 77	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((0.‘𝐾) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊))
79	66, 72, 78	3eqtr3d 2864	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑇 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊))
80	79	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → ((𝑇 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊))
81	53, 80	breqtrd 5078	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊))
82	14, 7	atcmp 36479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ↔ 𝑆 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)))
83	61, 41, 47, 82	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ↔ 𝑆 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)))
84	83	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ↔ 𝑆 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)))
85	81, 84	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑆 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊))
86	85	eqcomd 2827	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) = 𝑆)
87	86	ex 415	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) = 𝑆))
88	87	necon3ad 3029	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ≠ 𝑆 → ¬ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
89	20, 88	mpd 15	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑇 ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ¬ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5052  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  Basecbs 16466  lecple 16555  joincjn 17537  meetcmee 17538  0.cp0 17630  Latclat 17638  OLcol 36342  Atomscatm 36431  AtLatcal 36432  HLchlt 36518  LHypclh 37152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5446  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-proset 17521  df-poset 17539  df-plt 17551  df-lub 17567  df-glb 17568  df-join 17569  df-meet 17570  df-p0 17632  df-p1 17633  df-lat 17639  df-clat 17701  df-oposet 36344  df-ol 36346  df-oml 36347  df-covers 36434  df-ats 36435  df-atl 36466  df-cvlat 36490  df-hlat 36519  df-llines 36666  df-psubsp 36671  df-pmap 36672  df-padd 36964  df-lhyp 37156

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