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Theorem cdleme22cN 35947
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 5th line on p. 115. Show that t v =/= p q and s p q implies ¬ v p q. (Contributed by NM, 3-Dec-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l = (le‘𝐾)
cdleme22.j = (join‘𝐾)
cdleme22.m = (meet‘𝐾)
cdleme22.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme22.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme22cN ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑄))

Proof of Theorem cdleme22cN
StepHypRef Expression
1 simp11l 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 34968 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp12l 1194 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
5 simp13 1113 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
6 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 cdleme22.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
8 cdleme22.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8hlatjcl 34971 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
101, 4, 5, 9syl3anc 1366 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp11r 1193 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑊𝐻)
12 cdleme22.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
136, 12lhpbase 35602 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1411, 13syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
15 cdleme22.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
16 cdleme22.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
176, 15, 16latmle2 17124 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
183, 10, 14, 17syl3anc 1366 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
19 simp21r 1199 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑆 𝑊)
20 nbrne2 4705 . . 3 ((((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ≠ 𝑆)
2118, 19, 20syl2anc 694 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ≠ 𝑆)
22 simp32l 1206 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆 (𝑇 𝑉))
2322adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 (𝑇 𝑉))
241adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
2511adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑊𝐻)
26 simpl12 1157 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
27 simpl13 1158 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑄𝐴)
28 simp31l 1204 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝑄)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑃𝑄)
30 simp23l 1202 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑉𝐴)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑉𝐴)
32 simp23r 1203 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑉 𝑊)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑉 𝑊)
34 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑉 (𝑃 𝑄))
35 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 𝑄) 𝑊) = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
3615, 7, 16, 8, 12, 35cdleme22aa 35944 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑉 = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
3724, 25, 26, 27, 29, 31, 33, 34, 36syl233anc 1395 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑉 = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
3837oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → (𝑇 𝑉) = (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
3923, 38breqtrd 4711 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
40 simp32r 1207 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆 (𝑃 𝑄))
4140adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 (𝑃 𝑄))
42 simp21l 1198 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝐴)
436, 8atbase 34894 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
45 simp22 1115 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑇𝐴)
46 simp12r 1195 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑃 𝑊)
4715, 7, 16, 8, 12lhpat 35647 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴)
481, 11, 4, 46, 5, 28, 47syl222anc 1382 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴)
496, 7, 8hlatjcl 34971 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴) → (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
501, 45, 48, 49syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
516, 15, 16latlem12 17125 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ↔ 𝑆 ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄))))
523, 44, 50, 10, 51syl13anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑆 (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ↔ 𝑆 ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄))))
5352adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → ((𝑆 (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ↔ 𝑆 ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄))))
5439, 41, 53mpbi2and 976 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)))
55 simp31r 1205 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝑇)
5642, 45, 553jca 1261 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇))
57 simp33 1119 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))
5857, 22, 403jca 1261 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)))
5915, 7, 16, 8, 12cdleme22b 35946 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴 ∧ ((𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)))) → ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄))
601, 56, 4, 5, 28, 30, 58, 59syl232anc 1393 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄))
61 hlatl 34965 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
621, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ AtLat)
63 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
646, 15, 16, 63, 8atnle 34922 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ↔ (𝑇 (𝑃 𝑄)) = (0.‘𝐾)))
6562, 45, 10, 64syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ↔ (𝑇 (𝑃 𝑄)) = (0.‘𝐾)))
6660, 65mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑇 (𝑃 𝑄)) = (0.‘𝐾))
6766oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑇 (𝑃 𝑄)) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((0.‘𝐾) ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
686, 8atbase 34894 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
6945, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
706, 15, 16latmle1 17123 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) (𝑃 𝑄))
713, 10, 14, 70syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) (𝑃 𝑄))
726, 15, 7, 16, 8atmod4i1 35470 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) (𝑃 𝑄)) → ((𝑇 (𝑃 𝑄)) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)))
731, 48, 69, 10, 71, 72syl131anc 1379 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑇 (𝑃 𝑄)) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)))
74 hlol 34966 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
751, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ OL)
766, 16latmcl 17099 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
773, 10, 14, 76syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
786, 7, 63olj02 34831 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
7975, 77, 78syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((0.‘𝐾) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8067, 73, 793eqtr3d 2693 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8180adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8254, 81breqtrd 4711 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8315, 8atcmp 34916 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑆𝐴 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ↔ 𝑆 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
8462, 42, 48, 83syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ↔ 𝑆 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
8584adantr 480 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ↔ 𝑆 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
8682, 85mpbid 222 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8786eqcomd 2657 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) = 𝑆)
8887ex 449 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑉 (𝑃 𝑄) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) = 𝑆))
8988necon3ad 2836 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (((𝑃 𝑄) 𝑊) ≠ 𝑆 → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑄)))
9021, 89mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  joincjn 16991  meetcmee 16992  0.cp0 17084  Latclat 17092  OLcol 34779  Atomscatm 34868  AtLatcal 34869  HLchlt 34955  LHypclh 35588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592
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