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Theorem cdleme22cN 34444
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 5th line on p. 115. Show that t v =/= p q and s p q implies ¬ v p q. (Contributed by NM, 3-Dec-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l = (le‘𝐾)
cdleme22.j = (join‘𝐾)
cdleme22.m = (meet‘𝐾)
cdleme22.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme22.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme22cN ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑄))

Proof of Theorem cdleme22cN
StepHypRef Expression
1 simp11l 1164 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 33464 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp12l 1166 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
5 simp13 1085 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
6 eqid 2609 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 cdleme22.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
8 cdleme22.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8hlatjcl 33467 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
101, 4, 5, 9syl3anc 1317 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp11r 1165 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑊𝐻)
12 cdleme22.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
136, 12lhpbase 34098 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1411, 13syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
15 cdleme22.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
16 cdleme22.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
176, 15, 16latmle2 16846 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
183, 10, 14, 17syl3anc 1317 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
19 simp21r 1171 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑆 𝑊)
20 nbrne2 4597 . . 3 ((((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ≠ 𝑆)
2118, 19, 20syl2anc 690 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ≠ 𝑆)
22 simp32l 1178 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆 (𝑇 𝑉))
2322adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 (𝑇 𝑉))
241adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
2511adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑊𝐻)
26 simpl12 1129 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
27 simpl13 1130 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑄𝐴)
28 simp31l 1176 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝑄)
2928adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑃𝑄)
30 simp23l 1174 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑉𝐴)
3130adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑉𝐴)
32 simp23r 1175 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑉 𝑊)
3332adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑉 𝑊)
34 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑉 (𝑃 𝑄))
35 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 𝑄) 𝑊) = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
3615, 7, 16, 8, 12, 35cdleme22aa 34441 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑉 = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
3724, 25, 26, 27, 29, 31, 33, 34, 36syl233anc 1346 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑉 = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
3837oveq2d 6543 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → (𝑇 𝑉) = (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
3923, 38breqtrd 4603 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
40 simp32r 1179 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆 (𝑃 𝑄))
4140adantr 479 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 (𝑃 𝑄))
42 simp21l 1170 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝐴)
436, 8atbase 33390 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
45 simp22 1087 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑇𝐴)
46 simp12r 1167 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑃 𝑊)
4715, 7, 16, 8, 12lhpat 34143 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴)
481, 11, 4, 46, 5, 28, 47syl222anc 1333 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴)
496, 7, 8hlatjcl 33467 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴) → (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
501, 45, 48, 49syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
516, 15, 16latlem12 16847 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ↔ 𝑆 ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄))))
523, 44, 50, 10, 51syl13anc 1319 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑆 (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ↔ 𝑆 ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄))))
5352adantr 479 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → ((𝑆 (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ↔ 𝑆 ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄))))
5439, 41, 53mpbi2and 957 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)))
55 simp31r 1177 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝑇)
5642, 45, 553jca 1234 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇))
57 simp33 1091 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))
5857, 22, 403jca 1234 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)))
5915, 7, 16, 8, 12cdleme22b 34443 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴 ∧ ((𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)))) → ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄))
601, 56, 4, 5, 28, 30, 58, 59syl232anc 1344 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄))
61 hlatl 33461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
621, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ AtLat)
63 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
646, 15, 16, 63, 8atnle 33418 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ↔ (𝑇 (𝑃 𝑄)) = (0.‘𝐾)))
6562, 45, 10, 64syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ↔ (𝑇 (𝑃 𝑄)) = (0.‘𝐾)))
6660, 65mpbid 220 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑇 (𝑃 𝑄)) = (0.‘𝐾))
6766oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑇 (𝑃 𝑄)) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((0.‘𝐾) ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
686, 8atbase 33390 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
6945, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
706, 15, 16latmle1 16845 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) (𝑃 𝑄))
713, 10, 14, 70syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) (𝑃 𝑄))
726, 15, 7, 16, 8atmod4i1 33966 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) (𝑃 𝑄)) → ((𝑇 (𝑃 𝑄)) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)))
731, 48, 69, 10, 71, 72syl131anc 1330 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑇 (𝑃 𝑄)) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)))
74 hlol 33462 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
751, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ OL)
766, 16latmcl 16821 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
773, 10, 14, 76syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
786, 7, 63olj02 33327 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
7975, 77, 78syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((0.‘𝐾) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8067, 73, 793eqtr3d 2651 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8180adantr 479 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8254, 81breqtrd 4603 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8315, 8atcmp 33412 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑆𝐴 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ↔ 𝑆 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
8462, 42, 48, 83syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ↔ 𝑆 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
8584adantr 479 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ↔ 𝑆 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
8682, 85mpbid 220 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8786eqcomd 2615 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) = 𝑆)
8887ex 448 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑉 (𝑃 𝑄) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) = 𝑆))
8988necon3ad 2794 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (((𝑃 𝑄) 𝑊) ≠ 𝑆 → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑄)))
9021, 89mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  lecple 15721  joincjn 16713  meetcmee 16714  0.cp0 16806  Latclat 16814  OLcol 33275  Atomscatm 33364  AtLatcal 33365  HLchlt 33451  LHypclh 34084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-llines 33598  df-psubsp 33603  df-pmap 33604  df-padd 33896  df-lhyp 34088
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