Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climeldmeqmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climeldmeqmpt 39332
Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climeldmeqmpt.k 𝑘𝜑
climeldmeqmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeqmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climeldmeqmpt.a (𝜑𝐴𝑅)
climeldmeqmpt.i (𝜑𝑍𝐴)
climeldmeqmpt.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
climeldmeqmpt.t (𝜑𝐶𝑆)
climeldmeqmpt.l (𝜑𝑍𝐶)
climeldmeqmpt.c ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊)
climeldmeqmpt.e ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
climeldmeqmpt (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝐶𝐷) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeqmpt
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climeldmeqmpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climeldmeqmpt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑅)
32mptexd 6447 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ∈ V)
4 climeldmeqmpt.t . . 3 (𝜑𝐶𝑆)
54mptexd 6447 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐶𝐷) ∈ V)
6 climeldmeqmpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climeldmeqmpt.k . . . . . 6 𝑘𝜑
8 nfv 1840 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑍
97, 8nfan 1825 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
10 nfcsb1v 3534 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
11 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑘𝑗
1211nfcsb1 3533 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐷
1310, 12nfeq 2772 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷
149, 13nfim 1822 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
15 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1615anbi2d 739 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
17 csbeq1a 3527 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
18 csbeq1a 3527 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐷 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
1917, 18eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷))
2016, 19imbi12d 334 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)))
21 climeldmeqmpt.e . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
2214, 20, 21chvar 2261 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
23 climeldmeqmpt.i . . . . 5 (𝜑𝑍𝐴)
2423sselda 3587 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐴)
25 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐴
267, 25nfan 1825 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
27 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑘𝑉
2810, 27nfel 2773 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵𝑉
2926, 28nfim 1822 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)
30 eleq1 2686 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
3130anbi2d 739 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
3217eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑉𝑗 / 𝑘𝐵𝑉))
3331, 32imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)))
34 climeldmeqmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
3529, 33, 34chvar 2261 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)
3624, 35syldan 487 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)
3711nfcsb1 3533 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
38 eqid 2621 . . . . 5 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
3911, 37, 17, 38fvmptf 6262 . . . 4 ((𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵𝑉) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4024, 36, 39syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
41 climeldmeqmpt.l . . . . 5 (𝜑𝑍𝐶)
4241sselda 3587 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐶)
43 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐶
447, 43nfan 1825 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐶)
45 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑘𝑊
4612, 45nfel 2773 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐷𝑊
4744, 46nfim 1822 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)
48 eleq1 2686 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐶𝑗𝐶))
4948anbi2d 739 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐶) ↔ (𝜑𝑗𝐶)))
5018eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐷𝑊𝑗 / 𝑘𝐷𝑊))
5149, 50imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊) ↔ ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)))
52 climeldmeqmpt.c . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊)
5347, 51, 52chvar 2261 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)
5442, 53syldan 487 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)
55 eqid 2621 . . . . 5 (𝑘𝐶𝐷) = (𝑘𝐶𝐷)
5611, 12, 18, 55fvmptf 6262 . . . 4 ((𝑗𝐶𝑗 / 𝑘𝐷𝑊) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
5742, 54, 56syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
5822, 40, 573eqtr4d 2665 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗))
591, 3, 5, 6, 58climeldmeq 39329 1 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝐶𝐷) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  Vcvv 3189  csb 3518  wss 3559  cmpt 4678  dom cdm 5079  cfv 5852  cz 11329  cuz 11639  cli 14157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161
This theorem is referenced by:  fnlimfvre  39338  smflimsuplem4  40362
  Copyright terms: Public domain W3C validator