Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfres 33182
 Description: A continuous function on complex numbers restricted to a subset. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfres.1 𝐴 ⊆ ℂ
cncfres.2 𝐵 ⊆ ℂ
cncfres.3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)
cncfres.4 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
cncfres.5 (𝑥𝐴𝐶𝐵)
cncfres.6 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)
cncfres.7 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
cncfres.8 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
cncfres 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfres
StepHypRef Expression
1 cncfres.4 . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
2 cncfres.5 . . . 4 (𝑥𝐴𝐶𝐵)
31, 2fmpti 6340 . . 3 𝐺:𝐴𝐵
4 cncfres.2 . . . 4 𝐵 ⊆ ℂ
5 cncfres.1 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ ℂ
6 resmpt 5412 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴𝐶))
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴𝐶)
81, 7eqtr4i 2651 . . . . 5 𝐺 = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)
9 cncfres.3 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶)
10 cncfres.6 . . . . . . 7 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)
119, 10eqeltrri 2701 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
12 rescncf 22603 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
135, 11, 12mp2 9 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ∈ (𝐴cn→ℂ)
148, 13eqeltri 2700 . . . 4 𝐺 ∈ (𝐴cn→ℂ)
15 cncffvrn 22604 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝐺 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ 𝐺:𝐴𝐵))
164, 14, 15mp2an 707 . . 3 (𝐺 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ 𝐺:𝐴𝐵)
173, 16mpbir 221 . 2 𝐺 ∈ (𝐴cn𝐵)
18 eqid 2626 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
19 eqid 2626 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
20 cncfres.7 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
21 cncfres.8 . . . 4 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
2218, 19, 20, 21cncfmet 22614 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))
235, 4, 22mp2an 707 . 2 (𝐴cn𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾)
2417, 23eleqtri 2702 1 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ⊆ wss 3560   ↦ cmpt 4678   × cxp 5077   ↾ cres 5081   ∘ ccom 5083  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℂcc 9879   − cmin 10211  abscabs 13903  MetOpencmopn 19650   Cn ccn 20933  –cn→ccncf 22582 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-cncf 22584 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator