Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnvm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnnvm 27665
 Description: The vector subtraction operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnvm.6 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
Assertion
Ref Expression
cnnvm − = ( −𝑣𝑈)

Proof of Theorem cnnvm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulm1 10509 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
21adantl 481 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
32oveq2d 6706 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + (-1 · 𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
4 negsub 10367 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥𝑦))
53, 4eqtr2d 2686 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
65mpt2eq3ia 6762 . 2 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
7 subf 10321 . . . 4 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
8 ffn 6083 . . . 4 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
97, 8ax-mp 5 . . 3 − Fn (ℂ × ℂ)
10 fnov 6810 . . 3 ( − Fn (ℂ × ℂ) ↔ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑦)))
119, 10mpbi 220 . 2 − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑦))
12 cnnvm.6 . . . 4 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
1312cnnv 27660 . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
1412cnnvba 27662 . . . 4 ℂ = (BaseSet‘𝑈)
1512cnnvg 27661 . . . 4 + = ( +𝑣𝑈)
1612cnnvs 27663 . . . 4 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
17 eqid 2651 . . . 4 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
1814, 15, 16, 17nvmfval 27627 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( −𝑣𝑈) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦))))
1913, 18ax-mp 5 . 2 ( −𝑣𝑈) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
206, 11, 193eqtr4i 2683 1 − = ( −𝑣𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ⟨cop 4216   × cxp 5141   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  ℂcc 9972  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   − cmin 10304  -cneg 10305  abscabs 14018  NrmCVeccnv 27567   −𝑣 cnsb 27572 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583 This theorem is referenced by:  cnims  27676
 Copyright terms: Public domain W3C validator