Theorem cnnvm 8321

Description: The vector subtraction operation of the normed complex vector space of complex numbers.

Hypothesis

Ref	Expression
cnnvm.6	⊢ U = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnnvm	⊢ − = ( −v ‘U)

Proof of Theorem cnnvm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1t 5484	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℂ → (-1 · y) = -y)
2	1	adantl 390	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → (-1 · y) = -y)
3	2	opreq2d 3990	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → (x + (-1 · y)) = (x + -y))
4		negsubt 5395	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → (x + -y) = (x − y))
5	3, 4	eqtr2d 1515	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → (x − y) = (x + (-1 · y)))
6	5	eqeq2d 1493	. . . 4 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) → (z = (x − y) ↔ z = (x + (-1 · y))))
7	6	pm5.32i 648	. . 3 ⊢ (((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) ⋀ z = (x − y)) ↔ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) ⋀ z = (x + (-1 · y))))
8	7	oprabbii 4011	. 2 ⊢ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) ⋀ z = (x − y))} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) ⋀ z = (x + (-1 · y)))}
9		subopr 5383	. . . 4 ⊢ − :(ℂ × ℂ)–→ℂ
10		ffn 3641	. . . 4 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)–→ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
11	9, 10	ax-mp 7	. . 3 ⊢ − Fn (ℂ × ℂ)
12		fnoprval 4031	. . 3 ⊢ ( − Fn (ℂ × ℂ) ↔ − = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) ⋀ z = (x − y))})
13	11, 12	mpbi 189	. 2 ⊢ − = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) ⋀ z = (x − y))}
14		cnnvm.6	. . . 4 ⊢ U = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
15	14	cnnv 8315	. . 3 ⊢ U ∈ NrmCVec
16	14	cnnvba 8317	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base ‘U)
17	14	cnnvg 8316	. . . 4 ⊢ + = ( +v ‘U)
18	14	cnnvs 8319	. . . 4 ⊢ · = ( ·s ‘U)
19		eqid 1482	. . . 4 ⊢ ( −v ‘U) = ( −v ‘U)
20	16, 17, 18, 19	nvmfval 8272	. . 3 ⊢ (U ∈ NrmCVec → ( −v ‘U) = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) ⋀ z = (x + (-1 · y)))})
21	15, 20	ax-mp 7	. 2 ⊢ ( −v ‘U) = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℂ) ⋀ z = (x + (-1 · y)))}
22	8, 13, 21	3eqtr4 1512	1 ⊢ − = ( −v ‘U)

Syntax hints:   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962  ⟨cop 2421   × cxp 3182   Fn wfn 3191  –→wf 3192   ‘cfv 3196  (class class class)co 3977  {copab2 3978  ℂcc 5245  1c1 5248   + caddc 5250   · cmul 5252   − cmin 5305  -cneg 5306  abscabs 6764  NrmCVeccnv 8211   −_v cnsb 8216

This theorem is referenced by:  cnims 8342

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-sup 4584  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-div 5716  df-n 5931  df-2 5976  df-n0 6106  df-z 6142  df-seq1 6491  df-exp 6582  df-sqr 6684  df-re 6765  df-im 6766  df-cj 6767  df-abs 6768  df-grp 8046  df-gid 8047  df-ginv 8048  df-gdiv 8049  df-abl 8108  df-vc 8173  df-nv 8219  df-va 8222  df-ba 8223  df-sm 8224  df-0v 8225  df-vs 8226  df-nm 8227

Copyright terms: Public domain