Theorem subf 10321

Description: Subtraction is an operation on the complex numbers. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subf	⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ

Proof of Theorem subf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 10310	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
2		subcl 10318	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
3	1, 2	eqeltrrd 2731	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ)
4	3	rgen2a 3006	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ
5		df-sub 10306	. . 3 ⊢ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
6	5	fmpt2 7282	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ ↔ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
7	4, 6	mpbi 220	1 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   × cxp 5141  ⟶wf 5922  ℩crio 6650  (class class class)co 6690  ℂcc 9972   + caddc 9977   − cmin 10304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306

This theorem is referenced by:  dfz2  11433  zexALT  11434  rlimsub  14418  znnen  14985  cnfldds  19804  cnfldfun  19806  cnfldfunALT  19807  cnfldsub  19822  cnmetdval  22621  cnmet  22622  cnfldms  22626  subcn  22716  cnfldcusp  23199  ovolfsf  23286  ovolctb  23304  dvlip2  23803  cnnvm  27665  mblfinlem2  33577  sblpnf  38826  fourierdlem42  40684  ovolval2lem  41178  ovolval2  41179  ovolval3  41182