Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1ae0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1ae0 19634
 Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is 0 almost everywhere. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1ae0.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1ae0.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1ae0.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1ae0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1ae0 (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑠   0 ,𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛,𝑠)   𝑃(𝑛,𝑠)   𝑅(𝑛,𝑠)   𝐹(𝑛,𝑠)

Proof of Theorem coe1ae0
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1ae0.a . . 3 𝐴 = (coe1𝐹)
2 coe1ae0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 coe1ae0.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 coe1ae0.z . . 3 0 = (0g𝑅)
5 eqid 2651 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
61, 2, 3, 4, 5coe1fsupp 19632 . 2 (𝐹𝐵𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑎 finSupp 0 })
7 breq1 4688 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 finSupp 0𝐴 finSupp 0 ))
87elrab 3396 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } ↔ (𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ))
9 fvex 6239 . . . . . . 7 (0g𝑅) ∈ V
104, 9eqeltri 2726 . . . . . 6 0 ∈ V
1110a1i 11 . . . . 5 (𝐹𝐵0 ∈ V)
12 fsuppmapnn0ub 12835 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
1311, 12sylan2 490 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∧ 𝐹𝐵) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
1413impancom 455 . . 3 ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ) → (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
158, 14sylbi 207 . 2 (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } → (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
166, 15mpcom 38 1 (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899   finSupp cfsupp 8316   < clt 10112  ℕ0cn0 11330  Basecbs 15904  0gc0g 16147  Poly1cpl1 19595  coe1cco1 19596 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-ply1 19600  df-coe1 19601 This theorem is referenced by:  pmatcollpw1lem1  20627  ply1mulgsumlem1  42499
 Copyright terms: Public domain W3C validator