MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1ae0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1ae0 19353
Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is 0 almost everywhere. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1ae0.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1ae0.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1ae0.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1ae0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1ae0 (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑠   0 ,𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛,𝑠)   𝑃(𝑛,𝑠)   𝑅(𝑛,𝑠)   𝐹(𝑛,𝑠)

Proof of Theorem coe1ae0
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1ae0.a . . 3 𝐴 = (coe1𝐹)
2 coe1ae0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 coe1ae0.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 coe1ae0.z . . 3 0 = (0g𝑅)
5 eqid 2609 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
61, 2, 3, 4, 5coe1fsupp 19351 . 2 (𝐹𝐵𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑎 finSupp 0 })
7 breq1 4580 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 finSupp 0𝐴 finSupp 0 ))
87elrab 3330 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } ↔ (𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ))
9 fvex 6098 . . . . . . 7 (0g𝑅) ∈ V
104, 9eqeltri 2683 . . . . . 6 0 ∈ V
1110a1i 11 . . . . 5 (𝐹𝐵0 ∈ V)
12 fsuppmapnn0ub 12612 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
1311, 12sylan2 489 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∧ 𝐹𝐵) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
1413impancom 454 . . 3 ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ) → (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
158, 14sylbi 205 . 2 (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } → (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
166, 15mpcom 37 1 (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  {crab 2899  Vcvv 3172   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721   finSupp cfsupp 8135   < clt 9930  0cn0 11139  Basecbs 15641  0gc0g 15869  Poly1cpl1 19314  coe1cco1 19315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-tset 15733  df-ple 15734  df-psr 19123  df-mpl 19125  df-opsr 19127  df-psr1 19317  df-ply1 19319  df-coe1 19320
This theorem is referenced by:  pmatcollpw1lem1  20340  ply1mulgsumlem1  41970
  Copyright terms: Public domain W3C validator