Theorem cyc2fv2 30785

Description: Function value of a 2-cycle at the second point. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm2.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm2cl.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cyc2fv2	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐽) = 𝐼)

Proof of Theorem cyc2fv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpm2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpm2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm2.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5	3, 4	s2cld 14229	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
6		cycpm2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
7	3, 4, 6	s2f1 30621	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)
8		2pos 11738	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
9		s2len 14247	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = 2
10	8, 9	breqtrri 5090	. . . 4 ⊢ 0 < (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩))
12	9	oveq1i 7163	. . . . 5 ⊢ ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1) = (2 − 1)
13		2m1e1 11761	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
14	12, 13	eqtr2i 2844	. . . 4 ⊢ 1 = ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1))
16	1, 2, 5, 7, 11, 15	cycpmfv2 30777	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)) = (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0))
17		s2fv1 14246	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
18	4, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
19	18	fveq2d 6671	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)) = ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐽))
20		s2fv0 14245	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
21	3, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
22	16, 19, 21	3eqtr3d 2863	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐽) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015   class class class wbr 5063  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153  0cc0 10534  1c1 10535   < clt 10672   − cmin 10867  2c2 11690  ♯chash 13688  ⟨“cs2 14199  SymGrpcsymg 18491  toCycctocyc 30769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611  ax-pre-sup 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-sup 8903  df-inf 8904  df-card 9365  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-div 11295  df-nn 11636  df-2 11698  df-n0 11896  df-z 11980  df-uz 12242  df-rp 12388  df-fz 12891  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-mod 13236  df-hash 13689  df-word 13860  df-concat 13919  df-s1 13946  df-substr 13999  df-pfx 14029  df-csh 14147  df-s2 14206  df-tocyc 30770

This theorem is referenced by:  cycpmco2  30796  cyc3co2  30803