Theorem s2fv0 14249

Description: Extract the first symbol from a doubleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s2fv0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0) = 𝐴)

Proof of Theorem s2fv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14210	. 2 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2		s1cli 13959	. 2 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word V
3		s1len 13960	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
4		s1fv 13964	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
5		0nn0 11913	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		0lt1 11162	. 2 ⊢ 0 < 1
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cats1fv 14221	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  0cc0 10537  1c1 10538  ⟨“cs1 13949  ⟨“cs2 14203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210

This theorem is referenced by:  s3fv0  14253  pfx2  14309  psgnunilem2  18623  frgpnabllem1  18993  frgpnabllem2  18994  2wlkdlem8  27712  s2elclwwlknon2  27883  1wlkdlem4  27919  1pthond  27923  lp1cycl  27931  wlk2v2elem2  27935  pfx1s2  30615  s2rn  30620  cyc2fv1  30763  cyc2fv2  30764  lmat22lem  31082  lmat22e11  31083  lmat22e12  31084  lmat22e21  31085  fib0  31657  loop1cycl  32384