Theorem cycpmfv2 30775

Description: Value of a cycle function for the last element of the orbit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmfv2.1	⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
cycpmfv2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))

Assertion

Ref	Expression
cycpmfv2	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem cycpmfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		tocycfv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		tocycfv.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		tocycfv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
5		cycpmfv2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
6		lencl 13877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	3, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
8		cycpmfv2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
9		elnnnn0b 11935	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
10	7, 8, 9	sylanbrc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
11		elfz1end 12934	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
12	10, 11	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
13		fz1fzo0m1 13082	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
15	5, 14	eqeltrd 2912	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
16	1, 2, 3, 4, 15	cycpmfvlem 30773	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)))
17		df-f1 6353	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
18	4, 17	sylib 220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
19	18	simprd 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑊)
20		wrdfn 13872	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
21	3, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
22		fnfvelrn 6841	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
23	21, 15, 22	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
24		df-rn 5559	. . . 4 ⊢ ran 𝑊 = dom ◡𝑊
25	23, 24	eleqtrdi 2922	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝑁) ∈ dom ◡𝑊)
26		fvco 6752	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝑊 ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ dom ◡𝑊) → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))))
27	19, 25, 26	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))))
28		f1f1orn 6619	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
29	4, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
30	21	fndmd 6449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
31	15, 30	eleqtrrd 2915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ dom 𝑊)
32		f1ocnvfv1 7026	. . . . 5 ⊢ ((𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ dom 𝑊) → (◡𝑊‘(𝑊‘𝑁)) = 𝑁)
33	29, 31, 32	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊‘(𝑊‘𝑁)) = 𝑁)
34	33	fveq2d 6667	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))) = ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁))
35		1zzd 12007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
36		cshwidxmod 14158	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
37	3, 35, 15, 36	syl3anc 1366	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘𝑁) = (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))))
38		fzossfz 13053	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊))
39		fzssz 12906	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(♯‘𝑊)) ⊆ ℤ
40	38, 39	sstri 3969	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℤ
41	40, 15	sseldi 3958	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
42	41	zred 12081	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
43	10	nnrpd 12423	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
44	5	oveq1d 7164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)))
45		zmodidfzoimp 13266	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
46	14, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑊) − 1) mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
47	44, 46	eqtrd 2855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1))
48		modm1p1mod0 13287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0))
49	48	imp 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0)
50	42, 43, 47, 49	syl21anc 835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊)) = 0)
51	50	fveq2d 6667	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘((𝑁 + 1) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
52	34, 37, 51	3eqtrd 2859	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1)‘(◡𝑊‘(𝑊‘𝑁))) = (𝑊‘0))
53	16, 27, 52	3eqtrd 2859	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5059  ^◡ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549   ∘ ccom 5552  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  ⟶wf 6344  –1-1→wf1 6345  –1-1-onto→wf1o 6347  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668   − cmin 10863  ℕcn 11631  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ℝ⁺crp 12383  ...cfz 12889  ..^cfzo 13030   mod cmo 13234  ♯chash 13687  Word cword 13858   cyclShift ccsh 14143  toCycctocyc 30767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-sup 8899  df-inf 8900  df-card 9361  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11632  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12890  df-fzo 13031  df-fl 13159  df-mod 13235  df-hash 13688  df-word 13859  df-concat 13916  df-substr 13996  df-pfx 14026  df-csh 14144  df-tocyc 30768

This theorem is referenced by:  cyc2fv2  30783  cycpmco2lem4  30790  cycpmco2lem5  30791  cyc3fv3  30800  cycpmrn  30804