Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deccarry Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deccarry 41829
 Description: Add 1 to a 2 digit number with carry. This is a special case of decsucc 11740, but in closed form. As observed by ML, this theorem allows for carrying the 1 down multiple decimal constructors, so we can carry the 1 multiple times down a multi-digit number, e.g. by applying this theorem three times we get (;;999 + 1) = ;;;1000. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by ML, 8-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
deccarry (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴9 + 1) = (𝐴 + 1)0)

Proof of Theorem deccarry
StepHypRef Expression
1 df-dec 11684 . 2 (𝐴 + 1)0 = (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0)
2 9nn 11382 . . . . . . . 8 9 ∈ ℕ
3 peano2nn 11222 . . . . . . . 8 (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7 (9 + 1) ∈ ℕ
54a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
6 peano2nn 11222 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
75, 6nnmulcld 11258 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
87nncnd 11226 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
98addid1d 10426 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0) = ((9 + 1) · (𝐴 + 1)))
104nncni 11220 . . . . . 6 (9 + 1) ∈ ℂ
1110a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℂ)
12 nncn 11218 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
13 1cnd 10246 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1411, 12, 13adddid 10254 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)))
1511mulid1d 10247 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 1) = (9 + 1))
1615oveq2d 6827 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)) = (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)))
17 df-dec 11684 . . . . . . 7 𝐴9 = (((9 + 1) · 𝐴) + 9)
1817oveq1i 6821 . . . . . 6 (𝐴9 + 1) = ((((9 + 1) · 𝐴) + 9) + 1)
19 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
205, 19nnmulcld 11258 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 𝐴) ∈ ℕ)
2120nncnd 11226 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
222nncni 11220 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
2322a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 9 ∈ ℂ)
2421, 23, 13addassd 10252 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((((9 + 1) · 𝐴) + 9) + 1) = (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)))
2518, 24syl5req 2805 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)) = (𝐴9 + 1))
2616, 25eqtrd 2792 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)) = (𝐴9 + 1))
2714, 26eqtrd 2792 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) = (𝐴9 + 1))
289, 27eqtrd 2792 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0) = (𝐴9 + 1))
291, 28syl5req 2805 1 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴9 + 1) = (𝐴 + 1)0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  (class class class)co 6811  ℂcc 10124  0cc0 10126  1c1 10127   + caddc 10129   · cmul 10131  ℕcn 11210  9c9 11267  ;cdc 11683 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-ov 6814  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-ltxr 10269  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-dec 11684 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator