MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmulcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnmulcld 11106
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnmulcld (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnmulcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 nnmulcl 11081 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  (class class class)co 6690   · cmul 9979  cn 11058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059
This theorem is referenced by:  bcm1k  13142  bcp1n  13143  permnn  13153  trireciplem  14638  efaddlem  14867  eftlub  14883  eirrlem  14976  modmulconst  15060  isprm5  15466  crth  15530  phimullem  15531  pcqmul  15605  pcaddlem  15639  pcbc  15651  oddprmdvds  15654  pockthlem  15656  pockthg  15657  vdwlem3  15734  vdwlem6  15737  vdwlem9  15740  torsubg  18303  ablfacrp  18511  dgrcolem1  24074  aalioulem5  24136  aaliou3lem2  24143  log2cnv  24716  log2tlbnd  24717  log2ublem2  24719  log2ub  24721  lgamgulmlem4  24803  wilthlem2  24840  ftalem7  24850  basellem5  24856  mumul  24952  fsumfldivdiaglem  24960  dvdsmulf1o  24965  sgmmul  24971  chtublem  24981  bcmono  25047  bposlem3  25056  bposlem5  25058  gausslemma2dlem1a  25135  lgsquadlem2  25151  lgsquadlem3  25152  lgsquad2lem2  25155  2sqlem6  25193  rplogsumlem1  25218  rplogsumlem2  25219  dchrisum0fmul  25240  vmalogdivsum2  25272  pntrsumbnd2  25301  pntpbnd1  25320  pntpbnd2  25321  ostth2lem2  25368  2sqmod  29776  oddpwdc  30544  eulerpartlemgh  30568  subfaclim  31296  bcprod  31750  faclim2  31760  jm2.27c  37891  relexpmulnn  38318  mccllem  40147  limsup10exlem  40322  wallispilem5  40604  wallispi2lem1  40606  wallispi2  40608  stirlinglem3  40611  stirlinglem8  40616  stirlinglem15  40623  dirkertrigeqlem3  40635  hoicvrrex  41091  deccarry  41646  fmtnoprmfac2  41804  sfprmdvdsmersenne  41845  lighneallem3  41849  proththdlem  41855  blennnt2  42708
  Copyright terms: Public domain W3C validator