MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nncnd 11074
Description: A positive integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nncnd (𝜑𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nncnd
StepHypRef Expression
1 nnsscn 11063 . 2 ℕ ⊆ ℂ
2 nnred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
31, 2sseldi 3634 1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  cc 9972  cn 11058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059
This theorem is referenced by:  facdiv  13114  facndiv  13115  faclbnd  13117  faclbnd5  13125  faclbnd6  13126  facubnd  13127  facavg  13128  bccmpl  13136  bcn0  13137  bcn1  13140  bcm1k  13142  bcp1n  13143  bcp1nk  13144  bcval5  13145  bcpasc  13148  permnn  13153  hashf1  13279  hashfac  13280  relexpaddnn  13835  binom11  14608  binom1dif  14609  climcndslem2  14626  arisum2  14637  trireciplem  14638  trirecip  14639  geo2sum  14648  geo2lim  14650  fprodfac  14747  risefacfac  14810  fallfacfwd  14811  fallfacval4  14818  bcfallfac  14819  fallfacfac  14820  bpolycl  14827  bpolysum  14828  bpolydiflem  14829  fsumkthpow  14831  eftcl  14848  eftabs  14850  efcllem  14852  ege2le3  14864  efcj  14866  efaddlem  14867  eftlub  14883  eirrlem  14976  sqrt2irrlem  15021  sqrt2irrlemOLD  15022  oexpneg  15116  pwp1fsum  15161  bitsp1  15200  bitsfzolem  15203  bitsfzo  15204  bitsmod  15205  bitscmp  15207  bitsinv1lem  15210  bitsinv1  15211  2ebits  15216  bitsinvp1  15218  sadcaddlem  15226  sadadd3  15230  bitsres  15242  bitsuz  15243  bitsshft  15244  mulgcd  15312  rplpwr  15323  sqgcd  15325  lcmgcdlem  15366  3lcm2e6woprm  15375  coprmprod  15422  coprmproddvdslem  15423  cncongr1  15428  cncongr2  15429  prmind2  15445  isprm5  15466  divgcdodd  15469  prmdvdsexpr  15476  qmuldeneqnum  15502  divnumden  15503  qnumgt0  15505  numdensq  15509  hashdvds  15527  phiprmpw  15528  prmdiv  15537  prmdivdiv  15539  phisum  15542  modprm0  15557  pythagtriplem4  15571  pythagtriplem6  15573  pythagtriplem7  15574  pythagtriplem14  15580  pythagtriplem15  15581  pythagtriplem19  15585  pythagtrip  15586  pcprendvds2  15593  pcpre1  15594  pcpremul  15595  pceulem  15597  pcdiv  15604  pcqmul  15605  pcelnn  15621  pcid  15624  pc2dvds  15630  dvdsprmpweqnn  15636  dvdsprmpweqle  15637  pcaddlem  15639  pcadd  15640  pcfaclem  15649  qexpz  15652  expnprm  15653  oddprmdvds  15654  prmpwdvds  15655  pockthlem  15656  pockthg  15657  infpnlem1  15661  prmreclem1  15667  prmreclem2  15668  prmreclem3  15669  prmreclem4  15670  prmreclem6  15672  4sqlem6  15694  4sqlem7  15695  4sqlem10  15698  mul4sqlem  15704  4sqlem11  15706  4sqlem12  15707  4sqlem14  15709  4sqlem17  15712  4sqlem18  15713  vdwlem1  15732  vdwlem2  15733  vdwlem3  15734  vdwlem5  15736  vdwlem6  15737  vdwlem8  15739  vdwlem9  15740  vdwlem10  15741  vdwlem12  15743  ramub1lem2  15778  ramcl  15780  prmop1  15789  prmdvdsprmo  15793  prmgaplem7  15808  prmgaplem8  15809  gsumccat  17425  mulgnndir  17616  mulgnndirOLD  17617  mulgnnass  17623  mulgnnassOLD  17624  psgnunilem5  17960  odf1o2  18034  pgp0  18057  sylow1lem1  18059  odcau  18065  sylow2blem3  18083  sylow3lem3  18090  sylow3lem4  18091  gexexlem  18301  ablfacrp2  18512  ablfac1lem  18513  ablfac1eu  18518  pgpfac1lem3a  18521  pgpfac1lem3  18522  zringlpirlem3  19882  znrrg  19962  cpmadugsumlemF  20729  lebnumlem3  22809  ovollb2lem  23302  ovolunlem1a  23310  ovolunlem1  23311  uniioombllem3  23399  uniioombllem4  23400  dyaddisjlem  23409  mbfi1fseqlem3  23529  mbfi1fseqlem4  23530  dgrcolem1  24074  vieta1lem1  24110  vieta1lem2  24111  elqaalem2  24120  elqaalem3  24121  aalioulem1  24132  aaliou3lem2  24143  aaliou3lem8  24145  aaliou3lem6  24148  aaliou3lem9  24150  taylfvallem1  24156  tayl0  24161  taylply2  24167  taylply  24168  dvtaylp  24169  taylthlem1  24172  taylthlem2  24173  pserdvlem2  24227  advlogexp  24446  cxpmul2  24480  cxpeq  24543  atantayl3  24711  leibpi  24714  log2cnv  24716  log2tlbnd  24717  birthdaylem2  24724  birthdaylem3  24725  amgmlem  24761  amgm  24762  emcllem5  24771  fsumharmonic  24783  zetacvg  24786  dmgmdivn0  24799  lgamgulmlem3  24802  lgamgulmlem4  24803  lgamgulmlem5  24804  lgamgulmlem6  24805  lgamgulm2  24807  lgamcvg2  24826  gamcvg  24827  gamcvg2lem  24830  facgam  24837  wilthlem1  24839  wilthlem2  24840  wilthlem3  24841  wilthimp  24843  basellem1  24852  basellem2  24853  basellem3  24854  basellem4  24855  basellem5  24856  basellem8  24859  vmaprm  24888  sgmval2  24914  0sgm  24915  sgmf  24916  vma1  24937  fsumdvdsdiaglem  24954  dvdsflf1o  24958  muinv  24964  dvdsmulf1o  24965  sgmppw  24967  1sgmprm  24969  1sgm2ppw  24970  sgmmul  24971  chtublem  24981  fsumvma2  24984  chpchtsum  24989  logfaclbnd  24992  logexprlim  24995  mersenne  24997  perfect1  24998  perfectlem1  24999  perfectlem2  25000  perfect  25001  dchrsum2  25038  dchrhash  25041  bcmono  25047  bcp1ctr  25049  bclbnd  25050  bposlem1  25054  bposlem2  25055  bposlem3  25056  bposlem5  25058  bposlem6  25059  lgsval2lem  25077  lgsqrlem2  25117  gausslemma2dlem6  25142  gausslemma2dlem7  25143  gausslemma2d  25144  lgseisenlem1  25145  lgseisenlem4  25148  lgsquadlem1  25150  lgsquadlem2  25151  lgsquadlem3  25152  lgsquad2  25156  m1lgs  25158  2sqlem3  25190  2sqlem4  25191  chebbnd1lem1  25203  chebbnd1  25206  rplogsumlem1  25218  rplogsumlem2  25219  rpvmasumlem  25221  dchrisumlem1  25223  dchrmusum2  25228  dchrvmasumlem1  25229  dchrvmasum2lem  25230  dchrvmasum2if  25231  dchrvmasumlem2  25232  dchrvmasumlem3  25233  dchrvmasumiflem1  25235  dchrisum0flblem1  25242  dchrisum0flblem2  25243  dchrisum0fno1  25245  rpvmasum2  25246  rplogsum  25261  mulogsumlem  25265  mulogsum  25266  mulog2sumlem2  25269  vmalogdivsum2  25272  vmalogdivsum  25273  2vmadivsumlem  25274  logsqvma  25276  selberglem2  25280  selberglem3  25281  selberg  25282  selberg2lem  25284  logdivbnd  25290  selberg3lem1  25291  selberg4lem1  25294  pntrsumo1  25299  pntrsumbnd2  25301  selberg3r  25303  selberg4r  25304  selberg34r  25305  pntsval2  25310  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem4  25314  pntrlog2bndlem6  25317  pntpbnd1  25320  pntpbnd2  25321  pntlemg  25332  pntlemn  25334  pntlemf  25339  pnt  25348  padicabvf  25365  ostth2lem2  25368  ostth3  25372  fusgrhashclwwlkn  27043  eucrct2eupth  27223  numdenneg  29691  ltesubnnd  29696  1smat1  29998  madjusmdetlem2  30022  madjusmdetlem4  30024  qqhnm  30162  oddpwdc  30544  eulerpartlemsv2  30548  eulerpartlems  30550  eulerpartlemsv3  30551  eulerpartlemgc  30552  eulerpartlemv  30554  eulerpartlemgs2  30570  fibp1  30591  ballotlemfc0  30682  ballotlemfcc  30683  signsvtn0  30775  reprpmtf1o  30832  vtscl  30844  hgt750lemb  30862  tgoldbachgt  30869  subfacp1lem1  31287  subfacp1lem5  31292  subfacval2  31295  subfaclim  31296  cvmliftlem2  31394  cvmliftlem7  31399  cvmliftlem10  31402  cvmliftlem11  31403  cvmliftlem13  31404  bcm1nt  31749  bcprod  31750  iprodgam  31754  faclimlem1  31755  faclimlem2  31756  faclim2  31760  nn0prpwlem  32442  nn0prpw  32443  knoppndvlem16  32643  poimirlem1  33540  poimirlem2  33541  poimirlem6  33545  poimirlem7  33546  poimirlem8  33547  poimirlem9  33548  poimirlem10  33549  poimirlem11  33550  poimirlem12  33551  poimirlem13  33552  poimirlem15  33554  poimirlem16  33555  poimirlem17  33556  poimirlem18  33557  poimirlem19  33558  poimirlem20  33559  poimirlem21  33560  poimirlem22  33561  poimirlem23  33562  poimirlem24  33563  poimirlem25  33564  poimirlem26  33565  poimirlem27  33566  poimirlem31  33570  irrapxlem4  37706  irrapxlem5  37707  pellexlem2  37711  pellexlem6  37715  pell1234qrne0  37734  pell1234qrreccl  37735  pell1234qrmulcl  37736  pell1234qrdich  37742  pell14qrdich  37750  pell1qrge1  37751  pell1qr1  37752  pell14qrgapw  37757  rmxyneg  37802  rmxm1  37816  rmxluc  37818  rmxdbl  37821  jm2.19lem1  37873  jm2.27c  37891  itgpowd  38117  relexpmulnn  38318  relexpmulg  38319  inductionexd  38770  hashnzfzclim  38838  bcccl  38855  bcc0  38856  bccp1k  38857  bccm1k  38858  binomcxplemwb  38864  fsumnncl  40121  mccllem  40147  clim1fr1  40151  sumnnodd  40180  dvsinexp  40443  dvxpaek  40473  dvnxpaek  40475  dvnprodlem2  40480  itgsinexplem1  40487  itgsinexp  40488  stoweidlem1  40536  stoweidlem11  40546  stoweidlem25  40560  stoweidlem26  40561  stoweidlem34  40569  stoweidlem37  40572  stoweidlem38  40573  stoweidlem42  40577  wallispi2lem1  40606  wallispi2  40608  stirlinglem4  40612  stirlinglem5  40613  stirlinglem10  40618  stirlinglem15  40623  dirkertrigeqlem3  40635  dirkertrigeq  40636  dirkercncflem2  40639  dirkercncflem4  40641  fourierdlem11  40653  fourierdlem15  40657  fourierdlem79  40720  fourierdlem83  40724  sqwvfourb  40764  etransclem14  40783  etransclem15  40784  etransclem20  40789  etransclem21  40790  etransclem22  40791  etransclem23  40792  etransclem24  40793  etransclem25  40794  etransclem28  40797  etransclem31  40800  etransclem32  40801  etransclem33  40802  etransclem34  40803  etransclem35  40804  etransclem38  40807  etransclem41  40810  etransclem44  40813  etransclem45  40814  etransclem47  40816  etransclem48  40817  nnfoctbdjlem  40990  deccarry  41646  iccpartgtprec  41681  fmtnoodd  41770  fmtnorec2lem  41779  fmtnorec2  41780  fmtnodvds  41781  goldbachthlem2  41783  fmtnorec3  41785  fmtnorec4  41786  fmtnoprmfac1lem  41801  fmtnoprmfac1  41802  fmtnoprmfac2lem1  41803  fmtnoprmfac2  41804  2pwp1prm  41828  sfprmdvdsmersenne  41845  lighneallem4b  41851  lighneal  41853  proththdlem  41855  proththd  41856  oexpnegALTV  41913  perfectALTVlem1  41955  perfectALTVlem2  41956  perfectALTV  41957  nnpw2pmod  42702  nnolog2flm1  42709  blennn0em1  42710  blengt1fldiv2p1  42712  nn0sumshdiglemB  42739  amgmlemALT  42877
  Copyright terms: Public domain W3C validator