Theorem nncnd 11654

Description: A positive integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nncnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nncnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 11643	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3	1, 2	sseldi 3965	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ℂcc 10535  ℕcn 11638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-1cn 10595  ax-addcl 10597

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-nn 11639

This theorem is referenced by:  facdiv  13648  facndiv  13649  faclbnd  13651  faclbnd5  13659  faclbnd6  13660  facubnd  13661  facavg  13662  bccmpl  13670  bcn0  13671  bcn1  13674  bcm1k  13676  bcp1n  13677  bcp1nk  13678  bcval5  13679  bcpasc  13682  permnn  13687  hashf1  13816  hashfac  13817  relexpaddnn  14410  binom11  15187  binom1dif  15188  climcndslem2  15205  arisum2  15216  trireciplem  15217  trirecip  15218  geo2sum  15229  geo2lim  15231  fprodfac  15327  risefacfac  15389  fallfacfwd  15390  fallfacval4  15397  bcfallfac  15398  fallfacfac  15399  bpolycl  15406  bpolysum  15407  bpolydiflem  15408  fsumkthpow  15410  eftcl  15427  eftabs  15429  efcllem  15431  ege2le3  15443  efcj  15445  efaddlem  15446  eftlub  15462  eirrlem  15557  sqrt2irrlem  15601  oexpneg  15694  pwp1fsum  15742  bitsp1  15780  bitsfzolem  15783  bitsfzo  15784  bitsmod  15785  bitscmp  15787  bitsinv1lem  15790  bitsinv1  15791  2ebits  15796  bitsinvp1  15798  sadcaddlem  15806  sadadd3  15810  bitsres  15822  bitsuz  15823  bitsshft  15824  dvdsgcdidd  15885  mulgcd  15896  rplpwr  15907  sqgcd  15909  lcmgcdlem  15950  3lcm2e6woprm  15959  coprmprod  16005  coprmproddvdslem  16006  cncongr1  16011  cncongr2  16012  prmind2  16029  isprm5  16051  divgcdodd  16054  prmdvdsexpr  16061  qmuldeneqnum  16087  divnumden  16088  qnumgt0  16090  numdensq  16094  hashdvds  16112  phiprmpw  16113  prmdiv  16122  prmdivdiv  16124  phisum  16127  modprm0  16142  pythagtriplem4  16156  pythagtriplem6  16158  pythagtriplem7  16159  pythagtriplem14  16165  pythagtriplem15  16166  pythagtriplem19  16170  pythagtrip  16171  pcprendvds2  16178  pcpre1  16179  pcpremul  16180  pceulem  16182  pcdiv  16189  pcqmul  16190  pcelnn  16206  pcid  16209  pc2dvds  16215  dvdsprmpweqnn  16221  dvdsprmpweqle  16222  pcaddlem  16224  pcadd  16225  pcfaclem  16234  qexpz  16237  expnprm  16238  oddprmdvds  16239  prmpwdvds  16240  pockthlem  16241  pockthg  16242  infpnlem1  16246  prmreclem1  16252  prmreclem2  16253  prmreclem3  16254  prmreclem4  16255  prmreclem6  16257  4sqlem6  16279  4sqlem7  16280  4sqlem10  16283  mul4sqlem  16289  4sqlem11  16291  4sqlem12  16292  4sqlem14  16294  4sqlem17  16297  4sqlem18  16298  vdwlem1  16317  vdwlem2  16318  vdwlem3  16319  vdwlem5  16321  vdwlem6  16322  vdwlem8  16324  vdwlem9  16325  vdwlem10  16326  vdwlem12  16328  ramub1lem2  16363  ramcl  16365  prmop1  16374  prmdvdsprmo  16378  prmgaplem7  16393  prmgaplem8  16394  gsumsgrpccat  18004  gsumccatOLD  18005  mulgnndir  18256  mulgnnass  18262  psgnunilem5  18622  odf1o2  18698  pgp0  18721  sylow1lem1  18723  odcau  18729  sylow2blem3  18747  sylow3lem3  18754  sylow3lem4  18755  gexexlem  18972  ablfacrp2  19189  ablfac1lem  19190  ablfac1eu  19195  pgpfac1lem3a  19198  pgpfac1lem3  19199  fincygsubgodexd  19235  zringlpirlem3  20633  znrrg  20712  cpmadugsumlemF  21484  lebnumlem3  23567  ovollb2lem  24089  ovolunlem1a  24097  ovolunlem1  24098  uniioombllem3  24186  uniioombllem4  24187  dyaddisjlem  24196  mbfi1fseqlem3  24318  mbfi1fseqlem4  24319  dgrcolem1  24863  vieta1lem1  24899  vieta1lem2  24900  elqaalem2  24909  elqaalem3  24910  aalioulem1  24921  aaliou3lem2  24932  aaliou3lem8  24934  aaliou3lem6  24937  aaliou3lem9  24939  taylfvallem1  24945  tayl0  24950  taylply2  24956  taylply  24957  dvtaylp  24958  taylthlem1  24961  taylthlem2  24962  pserdvlem2  25016  advlogexp  25238  cxpmul2  25272  cxpeq  25338  atantayl3  25517  leibpi  25520  log2cnv  25522  log2tlbnd  25523  birthdaylem2  25530  birthdaylem3  25531  amgmlem  25567  amgm  25568  emcllem5  25577  fsumharmonic  25589  zetacvg  25592  dmgmdivn0  25605  lgamgulmlem3  25608  lgamgulmlem4  25609  lgamgulmlem5  25610  lgamgulmlem6  25611  lgamgulm2  25613  lgamcvg2  25632  gamcvg  25633  gamcvg2lem  25636  facgam  25643  wilthlem1  25645  wilthlem2  25646  wilthlem3  25647  wilthimp  25649  basellem1  25658  basellem2  25659  basellem3  25660  basellem4  25661  basellem5  25662  basellem8  25665  vmaprm  25694  sgmval2  25720  0sgm  25721  sgmf  25722  vma1  25743  fsumdvdsdiaglem  25760  dvdsflf1o  25764  muinv  25770  dvdsmulf1o  25771  sgmppw  25773  1sgmprm  25775  1sgm2ppw  25776  sgmmul  25777  chtublem  25787  fsumvma2  25790  chpchtsum  25795  logfaclbnd  25798  logexprlim  25801  mersenne  25803  perfect1  25804  perfectlem1  25805  perfectlem2  25806  perfect  25807  dchrsum2  25844  dchrhash  25847  bcmono  25853  bcp1ctr  25855  bclbnd  25856  bposlem1  25860  bposlem2  25861  bposlem3  25862  bposlem5  25864  bposlem6  25865  lgsval2lem  25883  lgsqrlem2  25923  gausslemma2dlem6  25948  gausslemma2dlem7  25949  gausslemma2d  25950  lgseisenlem1  25951  lgseisenlem4  25954  lgsquadlem1  25956  lgsquadlem2  25957  lgsquadlem3  25958  lgsquad2  25962  m1lgs  25964  2sqlem3  25996  2sqlem4  25997  chebbnd1lem1  26045  chebbnd1  26048  rplogsumlem1  26060  rplogsumlem2  26061  rpvmasumlem  26063  dchrisumlem1  26065  dchrmusum2  26070  dchrvmasumlem1  26071  dchrvmasum2lem  26072  dchrvmasum2if  26073  dchrvmasumlem2  26074  dchrvmasumlem3  26075  dchrvmasumiflem1  26077  dchrisum0flblem1  26084  dchrisum0flblem2  26085  dchrisum0fno1  26087  rpvmasum2  26088  rplogsum  26103  mulogsumlem  26107  mulogsum  26108  mulog2sumlem2  26111  vmalogdivsum2  26114  vmalogdivsum  26115  2vmadivsumlem  26116  logsqvma  26118  selberglem2  26122  selberglem3  26123  selberg  26124  selberg2lem  26126  logdivbnd  26132  selberg3lem1  26133  selberg4lem1  26136  pntrsumo1  26141  pntrsumbnd2  26143  selberg3r  26145  selberg4r  26146  selberg34r  26147  pntsval2  26152  pntrlog2bndlem2  26154  pntrlog2bndlem4  26156  pntrlog2bndlem6  26159  pntpbnd1  26162  pntpbnd2  26163  pntlemg  26174  pntlemn  26176  pntlemf  26181  pnt  26190  padicabvf  26207  ostth2lem2  26210  ostth3  26214  fusgrhashclwwlkn  27858  eucrct2eupth  28024  numdenneg  30533  ltesubnnd  30538  1smat1  31069  madjusmdetlem2  31093  madjusmdetlem4  31095  qqhnm  31231  oddpwdc  31612  eulerpartlemsv2  31616  eulerpartlems  31618  eulerpartlemsv3  31619  eulerpartlemgc  31620  eulerpartlemv  31622  eulerpartlemgs2  31638  fibp1  31659  ballotlemfc0  31750  ballotlemfcc  31751  signsvtn0  31840  reprpmtf1o  31897  vtscl  31909  hgt750lemb  31927  tgoldbachgt  31934  subfacp1lem1  32426  subfacp1lem5  32431  subfacval2  32434  subfaclim  32435  cvmliftlem2  32533  cvmliftlem7  32538  cvmliftlem10  32541  cvmliftlem11  32542  cvmliftlem13  32543  bcm1nt  32969  bcprod  32970  iprodgam  32974  faclimlem1  32975  faclimlem2  32976  faclim2  32980  nn0prpwlem  33670  nn0prpw  33671  knoppndvlem16  33866  poimirlem1  34908  poimirlem2  34909  poimirlem6  34913  poimirlem7  34914  poimirlem8  34915  poimirlem9  34916  poimirlem10  34917  poimirlem11  34918  poimirlem12  34919  poimirlem13  34920  poimirlem15  34922  poimirlem16  34923  poimirlem17  34924  poimirlem18  34925  poimirlem19  34926  poimirlem20  34927  poimirlem21  34928  poimirlem22  34929  poimirlem23  34930  poimirlem24  34931  poimirlem25  34932  poimirlem26  34933  poimirlem27  34934  poimirlem31  34938  lcmfunnnd  39133  nnadddir  39212  nnmul1com  39213  nnmulcom  39214  expgcd  39232  nn0expgcd  39233  numdenexp  39235  fltne  39321  fltltc  39322  fltnltalem  39323  fltnlta  39324  irrapxlem4  39471  irrapxlem5  39472  pellexlem2  39476  pellexlem6  39480  pell1234qrne0  39499  pell1234qrreccl  39500  pell1234qrmulcl  39501  pell1234qrdich  39507  pell14qrdich  39515  pell1qrge1  39516  pell1qr1  39517  pell14qrgapw  39522  rmxyneg  39566  rmxm1  39580  rmxluc  39582  rmxdbl  39585  jm2.19lem1  39635  jm2.27c  39653  itgpowd  39870  relexpmulnn  40103  relexpmulg  40104  inductionexd  40554  hashnzfzclim  40703  bcccl  40720  bcc0  40721  bccp1k  40722  bccm1k  40723  binomcxplemwb  40729  fsumnncl  41901  mccllem  41927  clim1fr1  41931  sumnnodd  41960  dvsinexp  42244  dvxpaek  42274  dvnxpaek  42276  dvnprodlem2  42281  itgsinexplem1  42288  itgsinexp  42289  stoweidlem1  42335  stoweidlem11  42345  stoweidlem25  42359  stoweidlem26  42360  stoweidlem34  42368  stoweidlem37  42371  stoweidlem38  42372  stoweidlem42  42376  wallispi2lem1  42405  wallispi2  42407  stirlinglem4  42411  stirlinglem5  42412  stirlinglem10  42417  stirlinglem15  42422  dirkertrigeqlem3  42434  dirkertrigeq  42435  dirkercncflem2  42438  dirkercncflem4  42440  fourierdlem11  42452  fourierdlem15  42456  fourierdlem79  42519  fourierdlem83  42523  sqwvfourb  42563  etransclem14  42582  etransclem15  42583  etransclem20  42588  etransclem21  42589  etransclem22  42590  etransclem23  42591  etransclem24  42592  etransclem25  42593  etransclem28  42596  etransclem31  42599  etransclem32  42600  etransclem33  42601  etransclem34  42602  etransclem35  42603  etransclem38  42606  etransclem41  42609  etransclem44  42612  etransclem45  42613  etransclem47  42615  etransclem48  42616  nnfoctbdjlem  42786  deccarry  43560  iccpartgtprec  43629  fmtnoodd  43744  fmtnorec2lem  43753  fmtnorec2  43754  fmtnodvds  43755  goldbachthlem2  43757  fmtnorec3  43759  fmtnorec4  43760  fmtnoprmfac1lem  43775  fmtnoprmfac1  43776  fmtnoprmfac2lem1  43777  fmtnoprmfac2  43778  2pwp1prm  43800  sfprmdvdsmersenne  43817  lighneallem4b  43823  lighneal  43825  proththdlem  43827  proththd  43828  oexpnegALTV  43891  perfectALTVlem1  43935  perfectALTVlem2  43936  perfectALTV  43937  nnpw2pmod  44692  nnolog2flm1  44699  blennn0em1  44700  blengt1fldiv2p1  44702  nn0sumshdiglemB  44729  amgmlemALT  44953