Theorem deg1addle 24695

Description: The degree of a sum is at most the maximum of the degrees of the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1addle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1addle.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
deg1addle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1addle.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
deg1addle	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))

Proof of Theorem deg1addle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. 2 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		deg1addle.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
3	2	deg1fval 24674	. 2 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
4		1on 8109	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
6		deg1addle.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		eqid 2821	. 2 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8		deg1addle.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
9		deg1addle.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑌)
10	8, 1, 9	ply1plusg 20393	. 2 ⊢ + = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
11		deg1addle.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
12		deg1addle.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
13	8, 12	ply1bascl2 20372	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
14	11, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
15		deg1addle.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
16	8, 12	ply1bascl2 20372	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
18	1, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 17	mdegaddle 24668	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   class class class wbr 5066  Oncon0 6191  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  1_oc1o 8095   ≤ cle 10676  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  Ringcrg 19297   mPoly cmpl 20133  Poly₁cpl1 20345   deg₁ cdg1 24648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-ofr 7410  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-hash 13692  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-subrg 19533  df-psr 20136  df-mpl 20138  df-opsr 20140  df-psr1 20348  df-ply1 20350  df-cnfld 20546  df-mdeg 24649  df-deg1 24650

This theorem is referenced by:  deg1addle2  24696  deg1add  24697  deg1suble  24701