Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibglbN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibglbN 35932
Description: Partial isomorphism B of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibglb.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dibglb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibglb.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dibglbN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem dibglbN
Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simprl 793 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ dom 𝐼)
3 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 eqid 2621 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5 dibglb.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 dibglb.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6dibdmN 35923 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom 𝐼 = {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
87sseq2d 3612 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊}))
98adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊}))
102, 9mpbid 222 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
11 simprr 795 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
125, 6dibvalrel 35929 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)))
1312adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)))
14 n0 3907 . . . . . . . 8 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
1514biimpi 206 . . . . . . 7 (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥𝑆)
1615ad2antll 764 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑥 𝑥𝑆)
175, 6dibvalrel 35929 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼𝑥))
1817adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → Rel (𝐼𝑥))
1918a1d 25 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑥𝑆 → Rel (𝐼𝑥)))
2019ancld 575 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑥𝑆 → (𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥))))
2120eximdv 1843 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∃𝑥 𝑥𝑆 → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥))))
2216, 21mpd 15 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
23 df-rex 2913 . . . . 5 (∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
2422, 23sylibr 224 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥))
25 reliin 5201 . . . 4 (∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥) → Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
2624, 25syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
27 id 22 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)))
28 simpl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
29 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
30 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
313, 4, 5, 30diadm 35801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
3231adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
3329, 32sseqtr4d 3621 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊))
34 simprr 795 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
35 dibglb.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (glb‘𝐾)
3635, 5, 30diaglbN 35821 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
3728, 33, 34, 36syl12anc 1321 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
3837eleq2d 2684 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ↔ 𝑓 𝑥𝑆 (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
39 vex 3189 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
40 eliin 4491 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ V → (𝑓 𝑥𝑆 (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑓 𝑥𝑆 (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
4238, 41syl6bb 276 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
4342anbi1d 740 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
44 r19.27zv 4043 . . . . . . 7 (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
4544ad2antll 764 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) ↔ (∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
4643, 45bitr4d 271 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
47 hlclat 34122 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
4847ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ CLat)
49 ssrab2 3666 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ⊆ (Base‘𝐾)
5029, 49syl6ss 3595 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
513, 35clatglbcl 17035 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
5248, 50, 51syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
53 hllat 34127 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
5453ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
5547ad3antrrr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
56 simplrl 799 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
5756, 49syl6ss 3595 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
5855, 57, 51syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
5950sselda 3583 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
603, 5lhpbase 34761 . . . . . . . . 9 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6160ad3antlr 766 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
62 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
633, 4, 35clatglble 17046 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
6455, 57, 62, 63syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
6529sselda 3583 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
66 breq1 4616 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦(le‘𝐾)𝑊𝑥(le‘𝐾)𝑊))
6766elrab 3346 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊))
6865, 67sylib 208 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊))
6968simprd 479 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥(le‘𝐾)𝑊)
703, 4, 54, 58, 59, 61, 64, 69lattrd 16979 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
7116, 70exlimddv 1860 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
72 eqid 2621 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
73 eqid 2621 . . . . . . 7 ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
743, 4, 5, 72, 73, 30, 6dibopelval2 35911 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
7528, 52, 71, 74syl12anc 1321 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐺𝑆)) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
76 opex 4893 . . . . . . 7 𝑓, 𝑠⟩ ∈ V
77 eliin 4491 . . . . . . 7 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ V → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥)))
7876, 77ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥))
79 simpll 789 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
803, 4, 5, 72, 73, 30, 6dibopelval2 35911 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
8179, 68, 80syl2anc 692 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
8281ralbidva 2979 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
8378, 82syl5bb 272 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∧ 𝑠 = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
8446, 75, 833bitr4d 300 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
8584eqrelrdv2 5180 . . 3 (((Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)) ∧ Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅))) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
8613, 26, 27, 85syl21anc 1322 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
871, 10, 11, 86syl12anc 1321 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  wss 3555  c0 3891  cop 4154   ciin 4486   class class class wbr 4613  cmpt 4673   I cid 4984  dom cdm 5074  cres 5076  Rel wrel 5079  cfv 5847  Basecbs 15781  lecple 15869  glbcglb 16864  Latclat 16966  CLatccla 17028  HLchlt 34114  LHypclh 34747  LTrncltrn 34864  DIsoAcdia 35794  DIsoBcdib 35904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-map 7804  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868  df-trl 34923  df-disoa 35795  df-dib 35905
This theorem is referenced by:  dibintclN  35933  dihglblem3N  36061  dihmeetlem2N  36065
  Copyright terms: Public domain W3C validator