MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdsplit 18367
Description: The direct product splits into the direct product of any partition of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprdsplit.u (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
dmdprdsplit.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdsplit.0 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })))

Proof of Theorem dmdprdsplit
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdsplit.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3 fdm 6008 . . . . . . . 8 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → dom 𝑆 = 𝐼)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → dom 𝑆 = 𝐼)
6 ssun1 3754 . . . . . . 7 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
7 dprdsplit.u . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐼 = (𝐶𝐷))
96, 8syl5sseqr 3633 . . . . . 6 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐶𝐼)
101, 5, 9dprdres 18348 . . . . 5 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
1110simpld 475 . . . 4 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
12 ssun2 3755 . . . . . . 7 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
1312, 8syl5sseqr 3633 . . . . . 6 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐷𝐼)
141, 5, 13dprdres 18348 . . . . 5 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
1514simpld 475 . . . 4 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
1611, 15jca 554 . . 3 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)))
17 dprdsplit.i . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
1817adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐶𝐷) = ∅)
19 dmdprdsplit.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
201, 5, 9, 13, 18, 19dprdcntz2 18358 . . 3 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
21 dmdprdsplit.0 . . . 4 0 = (0g𝐺)
221, 5, 9, 13, 18, 21dprddisj2 18359 . . 3 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
2316, 20, 223jca 1240 . 2 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 }))
242adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
2517adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → (𝐶𝐷) = ∅)
267adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝐼 = (𝐶𝐷))
27 simpr1l 1116 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
28 simpr1r 1117 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
29 simpr2 1066 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
30 simpr3 1067 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
3124, 25, 26, 19, 21, 27, 28, 29, 30dmdprdsplit2 18366 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd 𝑆)
3223, 31impbida 876 1 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  cun 3553  cin 3554  wss 3555  c0 3891  {csn 4148   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  cres 5076  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  0gc0g 16021  SubGrpcsubg 17509  Cntzccntz 17669   DProd cdprd 18313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-gim 17622  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-dprd 18315
This theorem is referenced by:  dprdsplit  18368  dmdprdpr  18369  dpjcntz  18372  dpjdisj  18373
  Copyright terms: Public domain W3C validator