Theorem ex-hash 27510

Description: Example for df-hash 13201. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-hash	⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = 3

Proof of Theorem ex-hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4258	. . . 4 ⊢ {0, 1, 2} = ({0, 1} ∪ {2})
2	1	fveq2i 6275	. . 3 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = (♯‘({0, 1} ∪ {2}))
3		prfi 8319	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ Fin
4		snfi 8122	. . . 4 ⊢ {2} ∈ Fin
5		2ne0 11194	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
6		1ne2 11321	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
7	6	necomi 2918	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
8	5, 7	nelpri 4277	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 ∈ {0, 1}
9		disjsn 4321	. . . . 5 ⊢ (({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ↔ ¬ 2 ∈ {0, 1})
10	8, 9	mpbir 221	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∩ {2}) = ∅
11		hashun 13252	. . . 4 ⊢ (({0, 1} ∈ Fin ∧ {2} ∈ Fin ∧ ({0, 1} ∩ {2}) = ∅) → (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})))
12	3, 4, 10, 11	mp3an 1505	. . 3 ⊢ (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
13	2, 12	eqtri 2714	. 2 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
14		prhash2ex 13268	. . . 4 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
15		2z 11490	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16		hashsng 13240	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → (♯‘{2}) = 1)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘{2}) = 1
18	14, 17	oveq12i 6745	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = (2 + 1)
19		2p1e3 11232	. . 3 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtri 2714	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = 3
21	13, 20	eqtri 2714	1 ⊢ (♯‘{0, 1, 2}) = 3

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1564   ∈ wcel 2071   ∪ cun 3646   ∩ cin 3647  ∅c0 3991  {csn 4253  {cpr 4255  {ctp 4257  ‘cfv 5969  (class class class)co 6733  Fincfn 8040  0cc0 10017  1c1 10018   + caddc 10020  2c2 11151  3c3 11152  ℤcz 11458  ♯chash 13200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-int 4552  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-1o 7648  df-oadd 7652  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-fin 8044  df-card 8846  df-cda 9071  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-nn 11102  df-2 11160  df-3 11161  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769  df-fz 12409  df-hash 13201

This theorem is referenced by: (None)