Theorem ex-hash 27158

Description: Example for df-hash 13055. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-hash	⊢ (#‘{0, 1, 2}) = 3

Proof of Theorem ex-hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4158	. . . 4 ⊢ {0, 1, 2} = ({0, 1} ∪ {2})
2	1	fveq2i 6153	. . 3 ⊢ (#‘{0, 1, 2}) = (#‘({0, 1} ∪ {2}))
3		prfi 8180	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ Fin
4		snfi 7983	. . . 4 ⊢ {2} ∈ Fin
5		2ne0 11058	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
6		1ne2 11185	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
7	6	necomi 2850	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
8	5, 7	nelpri 4177	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 ∈ {0, 1}
9		disjsn 4221	. . . . 5 ⊢ (({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ↔ ¬ 2 ∈ {0, 1})
10	8, 9	mpbir 221	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∩ {2}) = ∅
11		hashun 13108	. . . 4 ⊢ (({0, 1} ∈ Fin ∧ {2} ∈ Fin ∧ ({0, 1} ∩ {2}) = ∅) → (#‘({0, 1} ∪ {2})) = ((#‘{0, 1}) + (#‘{2})))
12	3, 4, 10, 11	mp3an 1421	. . 3 ⊢ (#‘({0, 1} ∪ {2})) = ((#‘{0, 1}) + (#‘{2}))
13	2, 12	eqtri 2648	. 2 ⊢ (#‘{0, 1, 2}) = ((#‘{0, 1}) + (#‘{2}))
14		prhash2ex 13124	. . . 4 ⊢ (#‘{0, 1}) = 2
15		2z 11354	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
16		hashsng 13096	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → (#‘{2}) = 1)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#‘{2}) = 1
18	14, 17	oveq12i 6617	. . 3 ⊢ ((#‘{0, 1}) + (#‘{2})) = (2 + 1)
19		2p1e3 11096	. . 3 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtri 2648	. 2 ⊢ ((#‘{0, 1}) + (#‘{2})) = 3
21	13, 20	eqtri 2648	1 ⊢ (#‘{0, 1, 2}) = 3

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ∪ cun 3558   ∩ cin 3559  ∅c0 3896  {csn 4153  {cpr 4155  {ctp 4157  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884  2c2 11015  3c3 11016  ℤcz 11322  #chash 13054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-hash 13055

This theorem is referenced by: (None)