Theorem f0 6124

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2651	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 6049	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 221	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5409	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 4005	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3668	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 5930	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 975	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1523   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  ran crn 5144   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930

This theorem is referenced by:  f00  6125  f0bi  6126  f10  6207  map0g  7939  ac6sfi  8245  oif  8476  wrd0  13362  0csh0  13585  ram0  15773  0ssc  16544  0subcat  16545  gsum0  17325  ga0  17777  0frgp  18238  ptcmpfi  21664  0met  22218  perfdvf  23712  uhgr0e  26011  uhgr0  26013  griedg0prc  26201  locfinref  30036  matunitlindf  33537  poimirlem28  33567  mapdm0OLD  39697  climlimsupcex  40319  0cnf  40408  dvnprodlem3  40481  mbf0  40491  sge00  40911  hoidmvlelem3  41132