MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f0 5984
Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
f0 ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . 3 ∅ = ∅
2 fn0 5910 . . 3 (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
31, 2mpbir 219 . 2 ∅ Fn ∅
4 rn0 5285 . . 3 ran ∅ = ∅
5 0ss 3923 . . 3 ∅ ⊆ 𝐴
64, 5eqsstri 3597 . 2 ran ∅ ⊆ 𝐴
7 df-f 5794 . 2 (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
83, 6, 7mpbir2an 956 1 ∅:∅⟶𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wss 3539  c0 3873  ran crn 5029   Fn wfn 5785  wf 5786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-br 4578  df-opab 4638  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794
This theorem is referenced by:  f00  5985  f0bi  5986  f10  6066  map0g  7760  ac6sfi  8066  oif  8295  wrd0  13131  0csh0  13336  ram0  15510  0ssc  16266  0subcat  16267  gsum0  17047  ga0  17500  0frgp  17961  ptcmpfi  21368  0met  21922  perfdvf  23390  uhgra0  25604  umgra0  25620  vdgr0  26193  locfinref  29042  matunitlindf  32380  poimirlem28  32410  mapdm0  38181  0cnf  38566  dvnprodlem3  38642  mbf0  38653  sge00  39073  hoidmvlelem3  39291  uhgr0e  40298  uhgr0  40300  griedg0prc  40490
  Copyright terms: Public domain W3C validator