MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthoppc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fthoppc 16804
Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. Proposition 3.43(c) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fulloppc.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppc.p 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fthoppc.f (𝜑𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
Assertion
Ref Expression
fthoppc (𝜑𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fthoppc
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fulloppc.o . . 3 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2 fulloppc.p . . 3 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3 fthoppc.f . . . 4 (𝜑𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
4 fthfunc 16788 . . . . 5 (𝐶 Faith 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
54ssbri 4849 . . . 4 (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
63, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
71, 2, 6funcoppc 16756 . 2 (𝜑𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9 eqid 2760 . . . . . 6 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
10 eqid 2760 . . . . . 6 (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
113adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
12 simprr 813 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
13 simprl 811 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
148, 9, 10, 11, 12, 13fthf1 16798 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)))
15 df-f1 6054 . . . . . 6 ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)) ↔ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)⟶((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)) ∧ Fun (𝑦𝐺𝑥)))
1615simprbi 483 . . . . 5 ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)) → Fun (𝑦𝐺𝑥))
1714, 16syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → Fun (𝑦𝐺𝑥))
18 ovtpos 7537 . . . . . 6 (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
1918cnveqi 5452 . . . . 5 (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
2019funeqi 6070 . . . 4 (Fun (𝑥tpos 𝐺𝑦) ↔ Fun (𝑦𝐺𝑥))
2117, 20sylibr 224 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → Fun (𝑥tpos 𝐺𝑦))
2221ralrimivva 3109 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun (𝑥tpos 𝐺𝑦))
231, 8oppcbas 16599 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
2423isfth 16795 . 2 (𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun (𝑥tpos 𝐺𝑦)))
257, 22, 24sylanbrc 701 1 (𝜑𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050   class class class wbr 4804  ccnv 5265  Fun wfun 6043  wf 6045  1-1wf1 6046  cfv 6049  (class class class)co 6814  tpos ctpos 7521  Basecbs 16079  Hom chom 16174  oppCatcoppc 16592   Func cfunc 16735   Faith cfth 16784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-hom 16188  df-cco 16189  df-cat 16550  df-cid 16551  df-oppc 16593  df-func 16739  df-fth 16786
This theorem is referenced by:  ffthoppc  16805  fthepi  16809
  Copyright terms: Public domain W3C validator