MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofzim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzofzim 12554
Description: If a nonnegative integer in a finite interval of integers is not the upper bound of the interval, it is contained in the corresponding half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzofzim ((𝐾𝑀𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))

Proof of Theorem fzofzim
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 12469 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀))
2 simpl1 1084 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → 𝐾 ∈ ℕ0)
3 necom 2876 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑀𝑀𝐾)
4 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
5 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
6 ltlen 10176 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾𝑀𝑀𝐾)))
74, 5, 6syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾𝑀𝑀𝐾)))
87bicomd 213 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀𝑀𝐾) ↔ 𝐾 < 𝑀))
9 elnn0z 11428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
10 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
11 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
135adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
14 lelttr 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
1510, 12, 13, 14syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
16 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
17 elnnz 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
1817simplbi2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
2115, 20syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
2221expd 451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
2322impancom 455 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
249, 23sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
2524imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
268, 25sylbid 230 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀𝑀𝐾) → 𝑀 ∈ ℕ))
2726expd 451 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑀 → (𝑀𝐾𝑀 ∈ ℕ)))
283, 27syl7bi 245 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑀 → (𝐾𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
29283impia 1280 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝐾𝑀𝑀 ∈ ℕ))
3029imp 444 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
318biimpd 219 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀𝑀𝐾) → 𝐾 < 𝑀))
3231exp4b 631 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀 → (𝑀𝐾𝐾 < 𝑀))))
33323imp 1275 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝑀𝐾𝐾 < 𝑀))
343, 33syl5bi 232 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝐾𝑀𝐾 < 𝑀))
3534imp 444 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → 𝐾 < 𝑀)
362, 30, 353jca 1261 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
3736ex 449 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝐾𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
381, 37sylbi 207 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑀) → (𝐾𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
3938impcom 445 . 2 ((𝐾𝑀𝐾 ∈ (0...𝑀)) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
40 elfzo0 12548 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
4139, 40sylibr 224 1 ((𝐾𝑀𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by:  cshwshashlem1  15849  clwwisshclwwsn  26973
  Copyright terms: Public domain W3C validator