MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzo0 12331
Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzo0 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0
StepHypRef Expression
1 elfzouz 12298 . . . 4 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ‘0))
2 elnn0uz 11557 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘0))
31, 2sylibr 222 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4 elfzolt3b 12306 . . . 4 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5 lbfzo0 12330 . . . 4 (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
64, 5sylib 206 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7 elfzolt2 12303 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
83, 6, 73jca 1234 . 2 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9 simp1 1053 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
109, 2sylib 206 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ‘0))
11 nnz 11232 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12113ad2ant2 1075 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13 simp3 1055 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14 elfzo2 12297 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
1510, 12, 13, 14syl3anbrc 1238 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
168, 15impbii 197 1 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  w3a 1030  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792   < clt 9930  cn 10867  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519  ..^cfzo 12289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290
This theorem is referenced by:  elfzo0z  12332  nn0p1elfzo  12333  elfzo0le  12334  fzonmapblen  12336  fzofzim  12337  fzo1fzo0n0  12341  ubmelfzo  12355  elfzodifsumelfzo  12356  elfzonlteqm1  12365  fzonn0p1  12366  fzonn0p1p1  12368  elfzom1p1elfzo  12369  ubmelm1fzo  12385  elfznelfzo  12394  subfzo0  12407  zmodidfzoimp  12517  modfzo0difsn  12559  modsumfzodifsn  12560  addmodlteq  12562  ccatalpha  13174  ccat2s1fvw  13213  swrdswrd  13258  wrdeqs1cat  13272  swrdccatin1  13280  swrdccatin12lem3  13287  repswswrd  13328  cshwidxmod  13346  cshwidxmodr  13347  cshwidx0  13349  cshwidxm1  13350  cshf1  13353  2cshw  13356  cshweqrep  13364  cshw1  13365  cshco  13379  swrds2  13479  2swrd2eqwrdeq  13490  wwlktovf  13493  addmodlteqALT  14831  smueqlem  14996  hashgcdlem  15277  prmgaplem3  15541  cshwshashlem2  15587  psgnunilem5  17683  psgnunilem2  17684  psgnunilem3  17685  psgnunilem4  17686  usgrcyclnl2  25935  nvnencycllem  25937  4cycl4dv  25961  wwlknredwwlkn  26020  clwlkisclwwlklem2fv2  26077  clwlkisclwwlklem2a4  26078  clwlkisclwwlklem2a  26079  clwwlkel  26087  wwlkext2clwwlk  26097  clwwisshclwwlem1  26099  usg2cwwkdifex  26115  rusgra0edg  26248  extwwlkfablem2  26371  numclwwlkovf2ex  26379  fiblem  29593  fib1  29595  fibp1  29596  signstfveq0  29786  poimirlem17  32392  poimirlem20  32395  iccpartigtl  39759  bgoldbtbndlem4  40022  lswn0  40040  pfx2  40073  subsubelfzo0  40179  elfzo0l  40185  usgr2pthlem  40964  uspgrn2crct  41006  crctcsh1wlkn0lem4  41011  crctcsh1wlkn0lem5  41012  crctcsh1wlkn0  41019  wwlksnredwwlkn  41096  clwlkclwwlklem2fv2  41200  clwlkclwwlklem2a4  41201  clwlkclwwlklem2a  41202  clwwlksel  41216  wwlksext2clwwlk  41226  clwwisshclwwslemlem  41228  umgr2cwwkdifex  41244  upgr3v3e3cycl  41342  upgr4cycl4dv4e  41347  eucrctshift  41406  eucrct2eupth  41408  av-numclwwlkovf2ex  41512
  Copyright terms: Public domain W3C validator