MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzo0 12548
Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzo0 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0
StepHypRef Expression
1 elfzouz 12513 . . . 4 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ‘0))
2 elnn0uz 11763 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘0))
31, 2sylibr 224 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4 elfzolt3b 12521 . . . 4 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5 lbfzo0 12547 . . . 4 (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
64, 5sylib 208 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7 elfzolt2 12518 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
83, 6, 73jca 1261 . 2 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9 simp1 1081 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
109, 2sylib 208 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ‘0))
11 nnz 11437 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12113ad2ant2 1103 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13 simp3 1083 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14 elfzo2 12512 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
1510, 12, 13, 14syl3anbrc 1265 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
168, 15impbii 199 1 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  w3a 1054  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974   < clt 10112  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ..^cfzo 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by:  elfzo0z  12549  nn0p1elfzo  12550  elfzo0le  12551  fzonmapblen  12553  fzofzim  12554  fzo1fzo0n0  12558  ubmelfzo  12572  elfzodifsumelfzo  12573  elfzonlteqm1  12583  fzonn0p1  12584  fzonn0p1p1  12586  elfzom1p1elfzo  12587  elfzo0l  12598  ubmelm1fzo  12604  elfznelfzo  12613  subfzo0  12630  zmodidfzoimp  12740  modfzo0difsn  12782  modsumfzodifsn  12783  addmodlteq  12785  ccatalpha  13411  ccat2s1fvw  13460  swrdswrd  13506  wrdeqs1cat  13520  swrdccatin1  13529  swrdccatin12lem3  13536  repswswrd  13577  cshwidxmod  13595  cshwidxmodr  13596  cshwidx0  13598  cshwidxm1  13599  cshf1  13602  2cshw  13605  cshweqrep  13613  cshw1  13614  cshco  13628  swrds2  13731  2swrd2eqwrdeq  13742  wwlktovf  13745  addmodlteqALT  15094  smueqlem  15259  hashgcdlem  15540  prmgaplem3  15804  cshwshashlem2  15850  psgnunilem5  17960  psgnunilem2  17961  psgnunilem3  17962  psgnunilem4  17963  usgr2pthlem  26715  uspgrn2crct  26756  crctcshwlkn0lem4  26761  crctcshwlkn0lem5  26762  crctcshwlkn0  26769  wwlksnredwwlkn  26858  clwlkclwwlklem2fv2  26962  clwlkclwwlklem2a4  26963  clwlkclwwlklem2a  26964  clwwisshclwwslemlem  26970  clwwlkel  27009  wwlksext2clwwlk  27021  wwlksext2clwwlkOLD  27022  umgr2cwwkdifex  27029  clwwlknonex2lem2  27083  upgr3v3e3cycl  27158  upgr4cycl4dv4e  27163  eucrctshift  27221  eucrct2eupth  27223  fiblem  30588  fib1  30590  fibp1  30591  signstfveq0  30782  poimirlem17  33556  poimirlem20  33559  subsubelfzo0  41661  iccpartigtl  41684  lswn0  41705  pfx2  41737  bgoldbtbndlem4  42021
  Copyright terms: Public domain W3C validator