MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gch3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gch3 9354
Description: An equivalent formulation of the generalized continuum hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gch3 (GCH = V ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))

Proof of Theorem gch3
StepHypRef Expression
1 simpr 475 . . . 4 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → 𝑥 ∈ On)
2 fvex 6098 . . . . 5 (ℵ‘𝑥) ∈ V
3 simpl 471 . . . . 5 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → GCH = V)
42, 3syl5eleqr 2694 . . . 4 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
5 fvex 6098 . . . . 5 (ℵ‘suc 𝑥) ∈ V
65, 3syl5eleqr 2694 . . . 4 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘suc 𝑥) ∈ GCH)
7 gchaleph2 9350 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ (ℵ‘𝑥) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝑥) ∈ GCH) → (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
81, 4, 6, 7syl3anc 1317 . . 3 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
98ralrimiva 2948 . 2 (GCH = V → ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
10 alephgch 9352 . . . . . 6 ((ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
1110ralimi 2935 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
12 alephfnon 8748 . . . . . 6 ℵ Fn On
13 ffnfv 6280 . . . . . 6 (ℵ:On⟶GCH ↔ (ℵ Fn On ∧ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH))
1412, 13mpbiran 954 . . . . 5 (ℵ:On⟶GCH ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
1511, 14sylibr 222 . . . 4 (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ℵ:On⟶GCH)
16 df-f 5794 . . . . 5 (ℵ:On⟶GCH ↔ (ℵ Fn On ∧ ran ℵ ⊆ GCH))
1712, 16mpbiran 954 . . . 4 (ℵ:On⟶GCH ↔ ran ℵ ⊆ GCH)
1815, 17sylib 206 . . 3 (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ran ℵ ⊆ GCH)
19 gch2 9353 . . 3 (GCH = V ↔ ran ℵ ⊆ GCH)
2018, 19sylibr 222 . 2 (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → GCH = V)
219, 20impbii 197 1 (GCH = V ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  Vcvv 3172  wss 3539  𝒫 cpw 4107   class class class wbr 4577  ran crn 5029  Oncon0 5626  suc csuc 5628   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  cen 7815  cale 8622  GCHcgch 9298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-reg 8357  ax-inf2 8398
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-seqom 7407  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-oexp 7430  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-oi 8275  df-har 8323  df-wdom 8324  df-cnf 8419  df-r1 8487  df-rank 8488  df-card 8625  df-aleph 8626  df-ac 8799  df-cda 8850  df-fin4 8969  df-gch 9299
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator