MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexid 17977
Description: Any element to the power of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexid.3 · = (.g𝐺)
gexid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gexid (𝐴𝑋 → (𝐸 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem gexid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6642 . . . 4 (𝐸 = 0 → (𝐸 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
2 gexcl.1 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 gexid.4 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
4 gexid.3 . . . . 5 · = (.g𝐺)
52, 3, 4mulg0 17527 . . . 4 (𝐴𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
61, 5sylan9eqr 2676 . . 3 ((𝐴𝑋𝐸 = 0) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
76adantrr 752 . 2 ((𝐴𝑋 ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
8 oveq1 6642 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐸 → (𝑦 · 𝑥) = (𝐸 · 𝑥))
98eqeq1d 2622 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐸 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
109ralbidv 2983 . . . . 5 (𝑦 = 𝐸 → (∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
1110elrab 3357 . . . 4 (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ↔ (𝐸 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
1211simprbi 480 . . 3 (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → ∀𝑥𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 )
13 oveq2 6643 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝐸 · 𝑥) = (𝐸 · 𝐴))
1413eqeq1d 2622 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐸 · 𝑥) = 0 ↔ (𝐸 · 𝐴) = 0 ))
1514rspcva 3302 . . 3 ((𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
1612, 15sylan2 491 . 2 ((𝐴𝑋𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
17 elfvex 6208 . . . 4 (𝐴 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
1817, 2eleq2s 2717 . . 3 (𝐴𝑋𝐺 ∈ V)
19 gexcl.2 . . . 4 𝐸 = (gEx‘𝐺)
20 eqid 2620 . . . 4 {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
212, 4, 3, 19, 20gexlem1 17975 . . 3 (𝐺 ∈ V → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
2218, 21syl 17 . 2 (𝐴𝑋 → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
237, 16, 22mpjaodan 826 1 (𝐴𝑋 → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  {crab 2913  Vcvv 3195  c0 3907  cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921  cn 11005  Basecbs 15838  0gc0g 16081  .gcmg 17521  gExcgex 17926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-seq 12785  df-mulg 17522  df-gex 17930
This theorem is referenced by:  gexdvdsi  17979  gexod  17982  gex1  17987  pgpfac1lem3a  18456
  Copyright terms: Public domain W3C validator