Theorem gsumsubg 30684

Description: The group sum in a subgroup is the same as the group sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐵)
gsumsubg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsubg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumsubg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
gsumsubg	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumsubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2821	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		gsumsubg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐵)
4		gsumsubg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5	4	elfvexd 6704	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
6		gsumsubg.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7	1	subgss 18280	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝐺))
8	4, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝐺))
9		gsumsubg.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
10		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
11	10	subg0cl 18287	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
12	4, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
13		subgrcl 18284	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
14	4, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
15	1, 2, 10	grplid 18133	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
16	1, 2, 10	grprid 18134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
17	15, 16	jca 514	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥))
18	14, 17	sylan 582	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥))
19	1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 12, 18	gsumress 17892	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483   ↾_s cress 16484  +_gcplusg 16565  0_gc0g 16713   Σ_g cgsu 16714  Grpcgrp 18103  SubGrpcsubg 18273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-seq 13371  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-subg 18276

This theorem is referenced by: (None)