MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashpw 13160
Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashpw (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 4138 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
21fveq2d 6154 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝒫 𝑥) = (#‘𝒫 𝐴))
3 fveq2 6150 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝑥) = (#‘𝐴))
43oveq2d 6621 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (2↑(#‘𝑥)) = (2↑(#‘𝐴)))
52, 4eqeq12d 2641 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((#‘𝒫 𝑥) = (2↑(#‘𝑥)) ↔ (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴))))
6 vex 3194 . . . . 5 𝑥 ∈ V
76pw2en 8012 . . . 4 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜𝑚 𝑥)
8 pwfi 8206 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
98biimpi 206 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10 df2o2 7520 . . . . . . 7 2𝑜 = {∅, {∅}}
11 prfi 8180 . . . . . . 7 {∅, {∅}} ∈ Fin
1210, 11eqeltri 2700 . . . . . 6 2𝑜 ∈ Fin
13 mapfi 8207 . . . . . 6 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (2𝑜𝑚 𝑥) ∈ Fin)
1412, 13mpan 705 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin → (2𝑜𝑚 𝑥) ∈ Fin)
15 hashen 13072 . . . . 5 ((𝒫 𝑥 ∈ Fin ∧ (2𝑜𝑚 𝑥) ∈ Fin) → ((#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜𝑚 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜𝑚 𝑥)))
169, 14, 15syl2anc 692 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin → ((#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜𝑚 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜𝑚 𝑥)))
177, 16mpbiri 248 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜𝑚 𝑥)))
18 hashmap 13159 . . . . 5 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (#‘(2𝑜𝑚 𝑥)) = ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)))
1912, 18mpan 705 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin → (#‘(2𝑜𝑚 𝑥)) = ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)))
20 hash2 13130 . . . . 5 (#‘2𝑜) = 2
2120oveq1i 6615 . . . 4 ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)) = (2↑(#‘𝑥))
2219, 21syl6eq 2676 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (#‘(2𝑜𝑚 𝑥)) = (2↑(#‘𝑥)))
2317, 22eqtrd 2660 . 2 (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝑥) = (2↑(#‘𝑥)))
245, 23vtoclga 3263 1 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1992  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {csn 4153  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  2𝑜c2o 7500  𝑚 cmap 7803  cen 7897  Fincfn 7900  2c2 11015  cexp 12797  #chash 13054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055
This theorem is referenced by:  ackbijnn  14480
  Copyright terms: Public domain W3C validator