Theorem hashpw 13160

Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashpw	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4138	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
2	1	fveq2d 6154	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝒫 𝑥) = (#‘𝒫 𝐴))
3		fveq2 6150	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝑥) = (#‘𝐴))
4	3	oveq2d 6621	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (2↑(#‘𝑥)) = (2↑(#‘𝐴)))
5	2, 4	eqeq12d 2641	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((#‘𝒫 𝑥) = (2↑(#‘𝑥)) ↔ (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴))))
6		vex 3194	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	pw2en 8012	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥)
8		pwfi 8206	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
9	8	biimpi 206	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10		df2o2 7520	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 = {∅, {∅}}
11		prfi 8180	. . . . . . 7 ⊢ {∅, {∅}} ∈ Fin
12	10, 11	eqeltri 2700	. . . . . 6 ⊢ 2𝑜 ∈ Fin
13		mapfi 8207	. . . . . 6 ⊢ ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (2𝑜 ↑𝑚 𝑥) ∈ Fin)
14	12, 13	mpan 705	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (2𝑜 ↑𝑚 𝑥) ∈ Fin)
15		hashen 13072	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝑥 ∈ Fin ∧ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥) ∈ Fin) → ((#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥)))
16	9, 14, 15	syl2anc 692	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥)))
17	7, 16	mpbiri 248	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)))
18		hashmap 13159	. . . . 5 ⊢ ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) = ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)))
19	12, 18	mpan 705	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) = ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)))
20		hash2 13130	. . . . 5 ⊢ (#‘2𝑜) = 2
21	20	oveq1i 6615	. . . 4 ⊢ ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)) = (2↑(#‘𝑥))
22	19, 21	syl6eq 2676	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) = (2↑(#‘𝑥)))
23	17, 22	eqtrd 2660	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝑥) = (2↑(#‘𝑥)))
24	5, 23	vtoclga 3263	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ∅c0 3896  𝒫 cpw 4135  {csn 4153  {cpr 4155   class class class wbr 4618  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  2_𝑜c2o 7500   ↑_𝑚 cmap 7803   ≈ cen 7897  Fincfn 7900  2c2 11015  ↑cexp 12797  #chash 13054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055

This theorem is referenced by:  ackbijnn  14480