MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashpw 13261
Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashpw (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 4194 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
21fveq2d 6233 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝒫 𝑥) = (#‘𝒫 𝐴))
3 fveq2 6229 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝑥) = (#‘𝐴))
43oveq2d 6706 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (2↑(#‘𝑥)) = (2↑(#‘𝐴)))
52, 4eqeq12d 2666 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((#‘𝒫 𝑥) = (2↑(#‘𝑥)) ↔ (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴))))
6 vex 3234 . . . . 5 𝑥 ∈ V
76pw2en 8108 . . . 4 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜𝑚 𝑥)
8 pwfi 8302 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
98biimpi 206 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10 df2o2 7619 . . . . . . 7 2𝑜 = {∅, {∅}}
11 prfi 8276 . . . . . . 7 {∅, {∅}} ∈ Fin
1210, 11eqeltri 2726 . . . . . 6 2𝑜 ∈ Fin
13 mapfi 8303 . . . . . 6 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (2𝑜𝑚 𝑥) ∈ Fin)
1412, 13mpan 706 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin → (2𝑜𝑚 𝑥) ∈ Fin)
15 hashen 13175 . . . . 5 ((𝒫 𝑥 ∈ Fin ∧ (2𝑜𝑚 𝑥) ∈ Fin) → ((#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜𝑚 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜𝑚 𝑥)))
169, 14, 15syl2anc 694 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin → ((#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜𝑚 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜𝑚 𝑥)))
177, 16mpbiri 248 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜𝑚 𝑥)))
18 hashmap 13260 . . . . 5 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (#‘(2𝑜𝑚 𝑥)) = ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)))
1912, 18mpan 706 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin → (#‘(2𝑜𝑚 𝑥)) = ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)))
20 hash2 13231 . . . . 5 (#‘2𝑜) = 2
2120oveq1i 6700 . . . 4 ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)) = (2↑(#‘𝑥))
2219, 21syl6eq 2701 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (#‘(2𝑜𝑚 𝑥)) = (2↑(#‘𝑥)))
2317, 22eqtrd 2685 . 2 (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝑥) = (2↑(#‘𝑥)))
245, 23vtoclga 3303 1 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1523  wcel 2030  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  2𝑜c2o 7599  𝑚 cmap 7899  cen 7994  Fincfn 7997  2c2 11108  cexp 12900  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  ackbijnn  14604
  Copyright terms: Public domain W3C validator