Theorem hashpw 13261

Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashpw	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4194	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
2	1	fveq2d 6233	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝒫 𝑥) = (#‘𝒫 𝐴))
3		fveq2 6229	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝑥) = (#‘𝐴))
4	3	oveq2d 6706	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (2↑(#‘𝑥)) = (2↑(#‘𝐴)))
5	2, 4	eqeq12d 2666	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((#‘𝒫 𝑥) = (2↑(#‘𝑥)) ↔ (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴))))
6		vex 3234	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	pw2en 8108	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥)
8		pwfi 8302	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
9	8	biimpi 206	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10		df2o2 7619	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 = {∅, {∅}}
11		prfi 8276	. . . . . . 7 ⊢ {∅, {∅}} ∈ Fin
12	10, 11	eqeltri 2726	. . . . . 6 ⊢ 2𝑜 ∈ Fin
13		mapfi 8303	. . . . . 6 ⊢ ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (2𝑜 ↑𝑚 𝑥) ∈ Fin)
14	12, 13	mpan 706	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (2𝑜 ↑𝑚 𝑥) ∈ Fin)
15		hashen 13175	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝑥 ∈ Fin ∧ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥) ∈ Fin) → ((#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥)))
16	9, 14, 15	syl2anc 694	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥)))
17	7, 16	mpbiri 248	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)))
18		hashmap 13260	. . . . 5 ⊢ ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) = ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)))
19	12, 18	mpan 706	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) = ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)))
20		hash2 13231	. . . . 5 ⊢ (#‘2𝑜) = 2
21	20	oveq1i 6700	. . . 4 ⊢ ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)) = (2↑(#‘𝑥))
22	19, 21	syl6eq 2701	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) = (2↑(#‘𝑥)))
23	17, 22	eqtrd 2685	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝑥) = (2↑(#‘𝑥)))
24	5, 23	vtoclga 3303	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  2_𝑜c2o 7599   ↑_𝑚 cmap 7899   ≈ cen 7994  Fincfn 7997  2c2 11108  ↑cexp 12900  #chash 13157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158

This theorem is referenced by:  ackbijnn  14604