Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hausmapdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hausmapdom 21505
 Description: If 𝑋 is a first-countable Hausdorff space, then the cardinality of the closure of a set 𝐴 is bounded by ℕ to the power 𝐴. In particular, a first-countable Hausdorff space with a dense subset 𝐴 has cardinality at most 𝐴↑ℕ, and a separable first-countable Hausdorff space has cardinality at most 𝒫 ℕ. (Compare hauspwpwdom 21993 to see a weaker result if the assumption of first-countability is omitted.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hauspwdom.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hausmapdom ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴𝑚 ℕ))

Proof of Theorem hausmapdom
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hauspwdom.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
211stcelcls 21466 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
323adant1 1125 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
4 uniexg 7120 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ V)
543ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ V)
61, 5syl5eqel 2843 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → 𝑋 ∈ V)
7 simp3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
86, 7ssexd 4957 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
9 nnex 11218 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
10 elmapg 8036 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐴))
118, 9, 10sylancl 697 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐴))
1211anbi1d 743 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐴𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
1312exbidv 1999 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
143, 13bitr4d 271 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
15 df-rex 3056 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ)𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥))
1614, 15syl6bbr 278 . . . 4 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ)𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥))
17 vex 3343 . . . . 5 𝑥 ∈ V
1817elima 5629 . . . 4 (𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴𝑚 ℕ)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ)𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)
1916, 18syl6bbr 278 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴𝑚 ℕ))))
2019eqrdv 2758 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴𝑚 ℕ)))
21 ovex 6841 . . 3 (𝐴𝑚 ℕ) ∈ V
22 lmfun 21387 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡𝐽))
23223ad2ant1 1128 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → Fun (⇝𝑡𝐽))
24 imadomg 9548 . . 3 ((𝐴𝑚 ℕ) ∈ V → (Fun (⇝𝑡𝐽) → ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴𝑚 ℕ)) ≼ (𝐴𝑚 ℕ)))
2521, 23, 24mpsyl 68 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴𝑚 ℕ)) ≼ (𝐴𝑚 ℕ))
2620, 25eqbrtrd 4826 1 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴𝑚 ℕ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ∪ cuni 4588   class class class wbr 4804   “ cima 5269  Fun wfun 6043  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↑𝑚 cmap 8023   ≼ cdom 8119  ℕcn 11212  clsccl 21024  ⇝𝑡clm 21232  Hauscha 21314  1st𝜔c1stc 21442 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-ac2 9477  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-acn 8958  df-ac 9129  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-top 20901  df-topon 20918  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-lm 21235  df-haus 21321  df-1stc 21444 This theorem is referenced by:  hauspwdom  21506
 Copyright terms: Public domain W3C validator