MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hausmapdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hausmapdom 21505
Description: If 𝑋 is a first-countable Hausdorff space, then the cardinality of the closure of a set 𝐴 is bounded by to the power 𝐴. In particular, a first-countable Hausdorff space with a dense subset 𝐴 has cardinality at most 𝐴↑ℕ, and a separable first-countable Hausdorff space has cardinality at most 𝒫 ℕ. (Compare hauspwpwdom 21993 to see a weaker result if the assumption of first-countability is omitted.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hauspwdom.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hausmapdom ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴𝑚 ℕ))

Proof of Theorem hausmapdom
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hauspwdom.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
211stcelcls 21466 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
323adant1 1125 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
4 uniexg 7120 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ V)
543ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ V)
61, 5syl5eqel 2843 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → 𝑋 ∈ V)
7 simp3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
86, 7ssexd 4957 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
9 nnex 11218 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
10 elmapg 8036 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐴))
118, 9, 10sylancl 697 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝐴))
1211anbi1d 743 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐴𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
1312exbidv 1999 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝐴𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
143, 13bitr4d 271 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
15 df-rex 3056 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ)𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥))
1614, 15syl6bbr 278 . . . 4 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ)𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥))
17 vex 3343 . . . . 5 𝑥 ∈ V
1817elima 5629 . . . 4 (𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴𝑚 ℕ)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ℕ)𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)
1916, 18syl6bbr 278 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴𝑚 ℕ))))
2019eqrdv 2758 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴𝑚 ℕ)))
21 ovex 6841 . . 3 (𝐴𝑚 ℕ) ∈ V
22 lmfun 21387 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡𝐽))
23223ad2ant1 1128 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → Fun (⇝𝑡𝐽))
24 imadomg 9548 . . 3 ((𝐴𝑚 ℕ) ∈ V → (Fun (⇝𝑡𝐽) → ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴𝑚 ℕ)) ≼ (𝐴𝑚 ℕ)))
2521, 23, 24mpsyl 68 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → ((⇝𝑡𝐽) “ (𝐴𝑚 ℕ)) ≼ (𝐴𝑚 ℕ))
2620, 25eqbrtrd 4826 1 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴𝑚 ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wrex 3051  Vcvv 3340  wss 3715   cuni 4588   class class class wbr 4804  cima 5269  Fun wfun 6043  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑚 cmap 8023  cdom 8119  cn 11212  clsccl 21024  𝑡clm 21232  Hauscha 21314  1st𝜔c1stc 21442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-ac2 9477  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-acn 8958  df-ac 9129  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-top 20901  df-topon 20918  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-lm 21235  df-haus 21321  df-1stc 21444
This theorem is referenced by:  hauspwdom  21506
  Copyright terms: Public domain W3C validator