Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hauspwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hauspwdom 21244
 Description: Simplify the cardinal 𝐴↑ℕ of hausmapdom 21243 to 𝒫 𝐵 = 2↑𝐵 when 𝐵 is an infinite cardinal greater than 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hauspwdom.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hauspwdom (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem hauspwdom
StepHypRef Expression
1 hauspwdom.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21hausmapdom 21243 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴𝑚 ℕ))
32adantr 481 . 2 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴𝑚 ℕ))
4 simprr 795 . . . 4 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ℕ ≼ 𝐵)
5 1nn 10991 . . . . 5 1 ∈ ℕ
6 noel 3901 . . . . . . 7 ¬ 1 ∈ ∅
7 eleq2 2687 . . . . . . 7 (ℕ = ∅ → (1 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ∅))
86, 7mtbiri 317 . . . . . 6 (ℕ = ∅ → ¬ 1 ∈ ℕ)
98adantr 481 . . . . 5 ((ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → ¬ 1 ∈ ℕ)
105, 9mt2 191 . . . 4 ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
11 mapdom2 8091 . . . 4 ((ℕ ≼ 𝐵 ∧ ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴𝑚 ℕ) ≼ (𝐴𝑚 𝐵))
124, 10, 11sylancl 693 . . 3 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴𝑚 ℕ) ≼ (𝐴𝑚 𝐵))
13 sdomdom 7943 . . . . . . 7 (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≼ 2𝑜)
1413adantl 482 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2𝑜) → 𝐴 ≼ 2𝑜)
15 mapdom1 8085 . . . . . 6 (𝐴 ≼ 2𝑜 → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ (2𝑜𝑚 𝐵))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2𝑜) → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ (2𝑜𝑚 𝐵))
17 reldom 7921 . . . . . . . . 9 Rel ≼
1817brrelex2i 5129 . . . . . . . 8 (ℕ ≼ 𝐵𝐵 ∈ V)
1918ad2antll 764 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
20 pw2eng 8026 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜𝑚 𝐵))
21 ensym 7965 . . . . . . 7 (𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜𝑚 𝐵) → (2𝑜𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2𝑜𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
2322adantr 481 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2𝑜) → (2𝑜𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
24 domentr 7975 . . . . 5 (((𝐴𝑚 𝐵) ≼ (2𝑜𝑚 𝐵) ∧ (2𝑜𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
2516, 23, 24syl2anc 692 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2𝑜) → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
26 onfin2 8112 . . . . . . . . 9 ω = (On ∩ Fin)
27 inss2 3818 . . . . . . . . 9 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
2826, 27eqsstri 3620 . . . . . . . 8 ω ⊆ Fin
29 2onn 7680 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ ω
3028, 29sselii 3585 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ Fin
31 simprl 793 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
3217brrelexi 5128 . . . . . . . 8 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵𝐴 ∈ V)
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
34 fidomtri 8779 . . . . . . 7 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2𝑜𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
3530, 33, 34sylancr 694 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2𝑜𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
3635biimpar 502 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜) → 2𝑜𝐴)
37 numth3 9252 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ dom card)
3819, 37syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
3938adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
40 nnenom 12735 . . . . . . . . . 10 ℕ ≈ ω
4140ensymi 7966 . . . . . . . . 9 ω ≈ ℕ
42 endomtr 7974 . . . . . . . . 9 ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
4341, 4, 42sylancr 694 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ω ≼ 𝐵)
4443adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜𝐴) → ω ≼ 𝐵)
45 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜𝐴) → 2𝑜𝐴)
4631adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
47 mappwen 8895 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2𝑜𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
4839, 44, 45, 46, 47syl22anc 1324 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
49 endom 7942 . . . . . 6 ((𝐴𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
5048, 49syl 17 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
5136, 50syldan 487 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜) → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
5225, 51pm2.61dan 831 . . 3 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
53 domtr 7969 . . 3 (((𝐴𝑚 ℕ) ≼ (𝐴𝑚 𝐵) ∧ (𝐴𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵) → (𝐴𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
5412, 52, 53syl2anc 692 . 2 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
55 domtr 7969 . 2 ((((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴𝑚 ℕ) ∧ (𝐴𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 𝐵) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)
563, 54, 55syl2anc 692 1 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3190   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560  ∅c0 3897  𝒫 cpw 4136  ∪ cuni 4409   class class class wbr 4623  dom cdm 5084  Oncon0 5692  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ωcom 7027  2𝑜c2o 7514   ↑𝑚 cmap 7817   ≈ cen 7912   ≼ cdom 7913   ≺ csdm 7914  Fincfn 7915  cardccrd 8721  1c1 9897  ℕcn 10980  clsccl 20762  Hauscha 21052  1st𝜔c1stc 21180 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cc 9217  ax-ac2 9245  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-oi 8375  df-card 8725  df-acn 8728  df-ac 8899  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-top 20639  df-topon 20656  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-lm 20973  df-haus 21059  df-1stc 21182 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator