Theorem infdjuabs 9628

Description: Absorption law for addition to an infinite cardinal. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdjuabs	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infdjuabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		reldom 8515	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelex2i 5609	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
4		djudom2 9609	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
5	1, 3, 4	syl2anc2 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
6		xp2dju 9602	. . . . 5 ⊢ (2o × 𝐴) = (𝐴 ⊔ 𝐴)
7	5, 6	breqtrrdi 5108	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (2o × 𝐴))
8		simp1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
9		2onn 8266	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
10		nnsdom 9117	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ≺ ω)
11		sdomdom 8537	. . . . . . 7 ⊢ (2o ≺ ω → 2o ≼ ω)
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ 2o ≼ ω
13		simp2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
14		domtr 8562	. . . . . 6 ⊢ ((2o ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 2o ≼ 𝐴)
15	12, 13, 14	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 2o ≼ 𝐴)
16		xpdom1g 8614	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 2o ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
17	8, 15, 16	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18		domtr 8562	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (2o × 𝐴) ∧ (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
19	7, 17, 18	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
20		infxpidm2 9443	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
21	20	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
22		domentr 8568	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝐴)
23	19, 21, 22	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝐴)
24	2	brrelex1i 5608	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
25	24	3ad2ant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
26		djudoml 9610	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
27	8, 25, 26	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
28		sbth 8637	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)
29	23, 27, 28	syl2anc 586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   class class class wbr 5066   × cxp 5553  dom cdm 5555  ωcom 7580  2_oc2o 8096   ≈ cen 8506   ≼ cdom 8507   ≺ csdm 8508   ⊔ cdju 9327  cardccrd 9364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-oi 8974  df-dju 9330  df-card 9368

This theorem is referenced by:  infunabs  9629  infdju  9630  infdif  9631