Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip0i 27808
 Description: A slight variant of Equation 6.46 of [Ponnusamy] p. 362, where 𝐽 is either 1 or -1 to represent +-1. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip1i.a 𝐴𝑋
ip1i.b 𝐵𝑋
ip1i.c 𝐶𝑋
ip1i.6 𝑁 = (normCV𝑈)
ip0i.j 𝐽 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
ip0i ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))

Proof of Theorem ip0i
StepHypRef Expression
1 2cn 11129 . . . 4 2 ∈ ℂ
2 ip1i.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 ip1i.6 . . . . . . 7 𝑁 = (normCV𝑈)
4 ip1i.9 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ CPreHilOLD
54phnvi 27799 . . . . . . 7 𝑈 ∈ NrmCVec
6 ip1i.a . . . . . . . 8 𝐴𝑋
7 ip0i.j . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ ℂ
8 ip1i.c . . . . . . . . 9 𝐶𝑋
9 ip1i.4 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
102, 9nvscl 27609 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
115, 7, 8, 10mp3an 1464 . . . . . . . 8 (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋
12 ip1i.2 . . . . . . . . 9 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
132, 12nvgcl 27603 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
145, 6, 11, 13mp3an 1464 . . . . . . 7 (𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
152, 3, 5, 14nvcli 27645 . . . . . 6 (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
1615recni 10090 . . . . 5 (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
1716sqcli 12984 . . . 4 ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
187negcli 10387 . . . . . . . . 9 -𝐽 ∈ ℂ
192, 9nvscl 27609 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
205, 18, 8, 19mp3an 1464 . . . . . . . 8 (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋
212, 12nvgcl 27603 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
225, 6, 20, 21mp3an 1464 . . . . . . 7 (𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
232, 3, 5, 22nvcli 27645 . . . . . 6 (𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
2423recni 10090 . . . . 5 (𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
2524sqcli 12984 . . . 4 ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
261, 17, 25subdii 10517 . . 3 (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
271, 17mulcli 10083 . . . 4 (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
281, 25mulcli 10083 . . . 4 (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
29 ip1i.b . . . . . . . 8 𝐵𝑋
302, 3, 5, 29nvcli 27645 . . . . . . 7 (𝑁𝐵) ∈ ℝ
3130recni 10090 . . . . . 6 (𝑁𝐵) ∈ ℂ
3231sqcli 12984 . . . . 5 ((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℂ
331, 32mulcli 10083 . . . 4 (2 · ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℂ
34 pnpcan2 10359 . . . 4 (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ ∧ (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ ∧ (2 · ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℂ) → (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))))
3527, 28, 33, 34mp3an 1464 . . 3 (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
3626, 35eqtr4i 2676 . 2 (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))))
37 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (1st𝑈) = (1st𝑈)
3837nvvc 27598 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ NrmCVec → (1st𝑈) ∈ CVecOLD)
3912vafval 27586 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (1st ‘(1st𝑈))
4039vcablo 27552 . . . . . . . . 9 ((1st𝑈) ∈ CVecOLD𝐺 ∈ AbelOp)
415, 38, 40mp2b 10 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ AbelOp
426, 29, 113pm3.2i 1259 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
432, 12bafval 27587 . . . . . . . . 9 𝑋 = ran 𝐺
4443ablo32 27531 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
4541, 42, 44mp2an 708 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵)
4645fveq2i 6232 . . . . . 6 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
4746oveq1i 6700 . . . . 5 ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2)
48 neg1cn 11162 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
492, 9nvscl 27609 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
505, 48, 29, 49mp3an 1464 . . . . . . . . 9 (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋
516, 50, 113pm3.2i 1259 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
5243ablo32 27531 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))
5341, 51, 52mp2an 708 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵))
5453fveq2i 6232 . . . . . 6 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))
5554oveq1i 6700 . . . . 5 ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)
5647, 55oveq12i 6702 . . . 4 (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2))
572, 12, 9, 3phpar 27807 . . . . 5 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))
584, 14, 29, 57mp3an 1464 . . . 4 (((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))
591, 17, 32adddii 10088 . . . 4 (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))
6056, 58, 593eqtri 2677 . . 3 (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))
616, 29, 203pm3.2i 1259 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
6243ablo32 27531 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
6341, 61, 62mp2an 708 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵)
6463fveq2i 6232 . . . . . 6 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
6564oveq1i 6700 . . . . 5 ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2)
666, 50, 203pm3.2i 1259 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
6743ablo32 27531 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))
6841, 66, 67mp2an 708 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵))
6968fveq2i 6232 . . . . . 6 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))
7069oveq1i 6700 . . . . 5 ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)
7165, 70oveq12i 6702 . . . 4 (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2))
722, 12, 9, 3phpar 27807 . . . . 5 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))
734, 22, 29, 72mp3an 1464 . . . 4 (((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))
741, 25, 32adddii 10088 . . . 4 (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))
7571, 73, 743eqtri 2677 . . 3 (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))
7660, 75oveq12i 6702 . 2 ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))))
772, 12nvgcl 27603 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
785, 6, 29, 77mp3an 1464 . . . . . . 7 (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
792, 12nvgcl 27603 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
805, 78, 11, 79mp3an 1464 . . . . . 6 ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
812, 3, 5, 80nvcli 27645 . . . . 5 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
8281recni 10090 . . . 4 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
8382sqcli 12984 . . 3 ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
842, 12nvgcl 27603 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
855, 6, 50, 84mp3an 1464 . . . . . . 7 (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
862, 12nvgcl 27603 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
875, 85, 11, 86mp3an 1464 . . . . . 6 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
882, 3, 5, 87nvcli 27645 . . . . 5 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
8988recni 10090 . . . 4 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
9089sqcli 12984 . . 3 ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
912, 12nvgcl 27603 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
925, 78, 20, 91mp3an 1464 . . . . . 6 ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
932, 3, 5, 92nvcli 27645 . . . . 5 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
9493recni 10090 . . . 4 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
9594sqcli 12984 . . 3 ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
962, 12nvgcl 27603 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
975, 85, 20, 96mp3an 1464 . . . . . 6 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
982, 3, 5, 97nvcli 27645 . . . . 5 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
9998recni 10090 . . . 4 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
10099sqcli 12984 . . 3 ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
10183, 90, 95, 100addsub4i 10415 . 2 ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
10236, 76, 1013eqtr2ri 2680 1 ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1st c1st 7208  ℂcc 9972  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   − cmin 10304  -cneg 10305  2c2 11108  ↑cexp 12900  AbelOpcablo 27526  CVecOLDcvc 27541  NrmCVeccnv 27567   +𝑣 cpv 27568  BaseSetcba 27569   ·𝑠OLD cns 27570  normCVcnmcv 27573  ·𝑖OLDcdip 27683  CPreHilOLDccphlo 27795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901  df-grpo 27475  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-nmcv 27583  df-ph 27796 This theorem is referenced by:  ip1ilem  27809
 Copyright terms: Public domain W3C validator