Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvscl 27451
 Description: Closure law for the scalar product operation of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvscl.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvscl.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvscl ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem nvscl
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . 3 (1st𝑈) = (1st𝑈)
21nvvc 27440 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (1st𝑈) ∈ CVecOLD)
3 eqid 2620 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
43vafval 27428 . . 3 ( +𝑣𝑈) = (1st ‘(1st𝑈))
5 nvscl.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
65smfval 27430 . . 3 𝑆 = (2nd ‘(1st𝑈))
7 nvscl.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
87, 3bafval 27429 . . 3 𝑋 = ran ( +𝑣𝑈)
94, 6, 8vccl 27388 . 2 (((1st𝑈) ∈ CVecOLD𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
102, 9syl3an1 1357 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  1st c1st 7151  ℂcc 9919  CVecOLDcvc 27383  NrmCVeccnv 27409   +𝑣 cpv 27410  BaseSetcba 27411   ·𝑠OLD cns 27412 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-vc 27384  df-nv 27417  df-va 27420  df-ba 27421  df-sm 27422  df-0v 27423  df-nmcv 27425 This theorem is referenced by:  nvmval2  27468  nvmf  27470  nvmdi  27473  nvnegneg  27474  nvpncan2  27478  nvaddsub4  27482  nvdif  27491  nvpi  27492  nvmtri  27496  nvabs  27497  nvge0  27498  imsmetlem  27515  smcnlem  27522  ipval2lem2  27529  4ipval2  27533  ipval3  27534  sspmval  27558  lnocoi  27582  lnomul  27585  0lno  27615  nmlno0lem  27618  nmblolbii  27624  blocnilem  27629  ip0i  27650  ip1ilem  27651  ipdirilem  27654  ipasslem1  27656  ipasslem2  27657  ipasslem4  27659  ipasslem5  27660  ipasslem8  27662  ipasslem9  27663  ipasslem10  27664  ipasslem11  27665  dipassr  27671  dipsubdir  27673  siilem1  27676  ipblnfi  27681  ubthlem2  27697  minvecolem2  27701  hhshsslem2  28095
 Copyright terms: Public domain W3C validator