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Theorem iunrelexpuztr 38328
Description: The indexed union of relation exponentiation over upper integers is a transive relation. Generalized from rtrclreclem3 13844. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mptiunrelexp.def 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
Assertion
Ref Expression
iunrelexpuztr ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑛,𝑀   𝑅,𝑛,𝑟   𝑛,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑟)   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem iunrelexpuztr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 6720 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑖) ∈ V)
2 simprlr 820 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑗𝑁)
3 simpll2 1121 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑁 = (ℤ𝑀))
42, 3eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
5 simpll3 1122 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6 simprll 819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖𝑁)
76, 3eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
8 eluznn0 11795 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
95, 7, 8syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
10 uzaddcl 11782 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑖) ∈ (ℤ𝑀))
114, 9, 10syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → (𝑗 + 𝑖) ∈ (ℤ𝑀))
12 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑛 = (𝑗 + 𝑖))
1311, 12, 33eltr4d 2745 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑛𝑁)
14 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
15 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
16 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
17 brcogw 5323 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)) → 𝑥((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖))𝑧)
1817ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ((𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖))𝑧))
1914, 15, 16, 18mp3an 1464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖))𝑧)
20 simpll3 1122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
21 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
22 simpll2 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑁 = (ℤ𝑀))
2321, 22eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
24 eluznn0 11795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
2520, 23, 24syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
26 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
2726, 22eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
2820, 27, 8syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
29 simpll1 1120 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅𝑉)
30 relexpaddss 38327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑅𝑉) → ((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅𝑟(𝑗 + 𝑖)))
3125, 28, 29, 30syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅𝑟(𝑗 + 𝑖)))
32 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑛 = (𝑗 + 𝑖))
3332oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟(𝑗 + 𝑖)))
3431, 33sseqtr4d 3675 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅𝑟𝑛))
3534ssbrd 4728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑥((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖))𝑧𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
3619, 35syl5 34 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
3736impr 648 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)
3813, 37jca 553 . . . . . . . . 9 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → (𝑛𝑁𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
3938ex 449 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) → (((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)) → (𝑛𝑁𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
401, 39spcimedv 3323 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)) → ∃𝑛(𝑛𝑁𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
4140exlimdvv 1902 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (∃𝑖𝑗((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)) → ∃𝑛(𝑛𝑁𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
42 reeanv 3136 . . . . . . 7 (∃𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) ↔ (∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))
43 r2ex 3090 . . . . . . 7 (∃𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) ↔ ∃𝑖𝑗((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)))
4442, 43bitr3i 266 . . . . . 6 ((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) ↔ ∃𝑖𝑗((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)))
45 df-rex 2947 . . . . . 6 (∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧 ↔ ∃𝑛(𝑛𝑁𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
4641, 44, 453imtr4g 285 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
4746alrimiv 1895 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
4847alrimiv 1895 . . 3 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
4948alrimiv 1895 . 2 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑥𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
50 cotr 5543 . . . . 5 (((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶𝑅)𝑧))
51 mptiunrelexp.def . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
5251briunov2uz 38307 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (𝑥(𝐶𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑦))
53 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑖 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑖))
5453breqd 4696 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑖 → (𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑦𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦))
5554cbvrexv 3202 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑦 ↔ ∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦)
5652, 55syl6bb 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (𝑥(𝐶𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦))
5751briunov2uz 38307 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (𝑦(𝐶𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑛𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
58 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑗 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑗))
5958breqd 4696 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑗 → (𝑦(𝑅𝑟𝑛)𝑧𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))
6059cbvrexv 3202 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑛)𝑧 ↔ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)
6157, 60syl6bb 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (𝑦(𝐶𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))
6256, 61anbi12d 747 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → ((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) ↔ (∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)))
6351briunov2uz 38307 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (𝑥(𝐶𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
6462, 63imbi12d 333 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶𝑅)𝑧) ↔ ((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
6564albidv 1889 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (∀𝑧((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
6665albidv 1889 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (∀𝑦𝑧((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
6766albidv 1889 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
6850, 67syl5bb 272 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
6968biimprd 238 . . 3 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (∀𝑥𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧) → ((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅)))
70693adant3 1101 . 2 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (∀𝑥𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧) → ((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅)))
7149, 70mpd 15 1 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054  wal 1521   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607   ciun 4552   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ccom 5147  cfv 5926  (class class class)co 6690   + caddc 9977  0cn0 11330  cuz 11725  𝑟crelexp 13804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-relexp 13805
This theorem is referenced by:  dftrcl3  38329  dfrtrcl3  38342
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