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Theorem iunrelexpuztr 36824
Description: The indexed union of relation exponentiation over upper integers is a transive relation. Generalized from rtrclreclem3 13597. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mptiunrelexp.def 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
Assertion
Ref Expression
iunrelexpuztr ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑛,𝑀   𝑅,𝑛,𝑟   𝑛,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑟)   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem iunrelexpuztr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6555 . . . . . . . . 9 (𝑗 + 𝑖) ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑖) ∈ V)
3 simprlr 799 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑗𝑁)
4 simpll2 1094 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑁 = (ℤ𝑀))
53, 4eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
6 simpll3 1095 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
7 simprll 798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖𝑁)
87, 4eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
9 eluznn0 11592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
106, 8, 9syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
11 uzaddcl 11579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑖) ∈ (ℤ𝑀))
125, 10, 11syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → (𝑗 + 𝑖) ∈ (ℤ𝑀))
13 simplr 788 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑛 = (𝑗 + 𝑖))
1412, 13, 43eltr4d 2703 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑛𝑁)
15 vex 3176 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
16 vex 3176 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
17 vex 3176 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
18 brcogw 5200 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)) → 𝑥((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖))𝑧)
1918ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ((𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖))𝑧))
2015, 16, 17, 19mp3an 1416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖))𝑧)
21 simpll3 1095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
22 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
23 simpll2 1094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑁 = (ℤ𝑀))
2422, 23eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
25 eluznn0 11592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
2621, 24, 25syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
27 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
2827, 23eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
2921, 28, 9syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
30 simpll1 1093 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅𝑉)
31 relexpaddss 36823 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑅𝑉) → ((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅𝑟(𝑗 + 𝑖)))
3226, 29, 30, 31syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅𝑟(𝑗 + 𝑖)))
33 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑛 = (𝑗 + 𝑖))
3433oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟(𝑗 + 𝑖)))
3532, 34sseqtr4d 3605 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅𝑟𝑛))
3635ssbrd 4621 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑥((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖))𝑧𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
3720, 36syl5 33 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
3837impr 647 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)
3914, 38jca 553 . . . . . . . . 9 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → (𝑛𝑁𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
4039ex 449 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) → (((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)) → (𝑛𝑁𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
412, 40spcimedv 3265 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)) → ∃𝑛(𝑛𝑁𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
4241exlimdvv 1849 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (∃𝑖𝑗((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)) → ∃𝑛(𝑛𝑁𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
43 reeanv 3086 . . . . . . 7 (∃𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) ↔ (∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))
44 r2ex 3043 . . . . . . 7 (∃𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) ↔ ∃𝑖𝑗((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)))
4543, 44bitr3i 265 . . . . . 6 ((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) ↔ ∃𝑖𝑗((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)))
46 df-rex 2902 . . . . . 6 (∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧 ↔ ∃𝑛(𝑛𝑁𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
4742, 45, 463imtr4g 284 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
4847alrimiv 1842 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
4948alrimiv 1842 . . 3 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
5049alrimiv 1842 . 2 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑥𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
51 cotr 5414 . . . . 5 (((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶𝑅)𝑧))
52 mptiunrelexp.def . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
5352briunov2uz 36803 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (𝑥(𝐶𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑦))
54 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑖 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑖))
5554breqd 4589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑖 → (𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑦𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦))
5655cbvrexv 3148 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑦 ↔ ∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦)
5753, 56syl6bb 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (𝑥(𝐶𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦))
5852briunov2uz 36803 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (𝑦(𝐶𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑛𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
59 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑗 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑗))
6059breqd 4589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑗 → (𝑦(𝑅𝑟𝑛)𝑧𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))
6160cbvrexv 3148 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑛)𝑧 ↔ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)
6258, 61syl6bb 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (𝑦(𝐶𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))
6357, 62anbi12d 743 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → ((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) ↔ (∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)))
6452briunov2uz 36803 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (𝑥(𝐶𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
6563, 64imbi12d 333 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶𝑅)𝑧) ↔ ((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
6665albidv 1836 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (∀𝑧((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
6766albidv 1836 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (∀𝑦𝑧((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
6867albidv 1836 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
6951, 68syl5bb 271 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
7069biimprd 237 . . 3 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (∀𝑥𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧) → ((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅)))
71703adant3 1074 . 2 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (∀𝑥𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧) → ((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅)))
7250, 71mpd 15 1 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031  wal 1473   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  wrex 2897  Vcvv 3173  wss 3540   ciun 4450   class class class wbr 4578  cmpt 4638  ccom 5032  cfv 5790  (class class class)co 6527   + caddc 9796  0cn0 11142  cuz 11522  𝑟crelexp 13557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-seq 12622  df-relexp 13558
This theorem is referenced by:  dftrcl3  36825  dfrtrcl3  36838
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