Theorem l1cvat 36206

Description: Create an atom under an element covered by the lattice unit. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (1cvrat 36627 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
l1cvat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
l1cvat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
l1cvat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
l1cvat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
l1cvat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
l1cvat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
l1cvat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
l1cvat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
l1cvat.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
l1cvat.n	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
l1cvat.l	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
l1cvat.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
l1cvat	⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem l1cvat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		l1cvat.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 19878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lmodabl 19681	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
6		l1cvat.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	lsssssubg 19730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
8	3, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9		l1cvat.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
10		l1cvat.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
11	6, 9, 3, 10	lsatlssel 36148	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
12	8, 11	sseldd 3968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13		l1cvat.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
14	6, 9, 3, 13	lsatlssel 36148	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
15	8, 14	sseldd 3968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16		l1cvat.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
17	16	lsmcom 18978	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑄 ⊕ 𝑅) = (𝑅 ⊕ 𝑄))
18	5, 12, 15, 17	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ⊕ 𝑅) = (𝑅 ⊕ 𝑄))
19	18	ineq1d 4188	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) = ((𝑅 ⊕ 𝑄) ∩ 𝑈))
20		incom 4178	. . 3 ⊢ ((𝑅 ⊕ 𝑄) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ (𝑅 ⊕ 𝑄))
21	19, 20	syl6eq 2872	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ (𝑅 ⊕ 𝑄)))
22		l1cvat.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
23		l1cvat.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
24	23	necomd 3071	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 𝑄)
25		l1cvat.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
26		l1cvat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
27	26, 9, 3, 13	lsatssv 36149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑉)
28		l1cvat.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
29		l1cvat.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
30	26, 6, 16, 9, 28, 1, 22, 10, 29, 25	l1cvpat 36205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉)
31	27, 30	sseqtrrd 4008	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑄))
32	6, 16, 9, 1, 22, 13, 10, 24, 25, 31	lsatcvat3 36203	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑅 ⊕ 𝑄)) ∈ 𝐴)
33	21, 32	eqeltrd 2913	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ∩ 𝑈) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  SubGrpcsubg 18273  LSSumclsm 18759  Abelcabl 18907  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LVecclvec 19874  LSAtomsclsa 36125   ⋖_L clcv 36169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-oppg 18474  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-lsatoms 36127  df-lshyp 36128  df-lcv 36170

This theorem is referenced by:  lshpat  36207