Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme22eALTN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme22eALTN 34447
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 4th line on p. 115. 𝐹, 𝑁, 𝑂 represent f(z), fz(s), fz(t) respectively. When t v = p q, fz(s) fz(t) v. (Contributed by NM, 6-Dec-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l = (le‘𝐾)
cdleme22.j = (join‘𝐾)
cdleme22.m = (meet‘𝐾)
cdleme22.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme22.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme22eALT.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme22eALT.f 𝐹 = ((𝑦 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑦) 𝑊)))
cdleme22eALT.g 𝐺 = ((𝑧 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
cdleme22eALT.n 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊)))
cdleme22eALT.o 𝑂 = ((𝑃 𝑄) (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
Assertion
Ref Expression
cdleme22eALTN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑁 (𝑂 𝑉))

Proof of Theorem cdleme22eALTN
StepHypRef Expression
1 cdleme22eALT.n . . 3 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊)))
2 simp11 1083 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝐾 ∈ HL)
3 hllat 33464 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
42, 3syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp21l 1170 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑃𝐴)
6 simp22l 1172 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑄𝐴)
7 eqid 2609 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 cdleme22.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
9 cdleme22.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
107, 8, 9hlatjcl 33467 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
112, 5, 6, 10syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
12 simp12 1084 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑊𝐻)
13 simp3ll 1124 . . . . . . 7 ((𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊))) → 𝑦𝐴)
14133ad2ant3 1076 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑦𝐴)
15 cdleme22.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
16 cdleme22.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
17 cdleme22.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
18 cdleme22eALT.u . . . . . . 7 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
19 cdleme22eALT.f . . . . . . 7 𝐹 = ((𝑦 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑦) 𝑊)))
2015, 8, 16, 9, 17, 18, 19, 7cdleme1b 34327 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑦𝐴)) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
212, 12, 5, 6, 14, 20syl23anc 1324 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
22 simp31 1089 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑆𝐴)
237, 8, 9hlatjcl 33467 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑦𝐴) → (𝑆 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
242, 22, 14, 23syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑆 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
257, 17lhpbase 34098 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2612, 25syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
277, 16latmcl 16821 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 𝑦) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑆 𝑦) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
284, 24, 26, 27syl3anc 1317 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑆 𝑦) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
297, 8latjcl 16820 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑆 𝑦) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
304, 21, 28, 29syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
317, 15, 16latmle1 16845 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊))) (𝑃 𝑄))
324, 11, 30, 31syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑆 𝑦) 𝑊))) (𝑃 𝑄))
331, 32syl5eqbr 4612 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑁 (𝑃 𝑄))
34 simp21 1086 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
35 simp13 1085 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑇𝐴)
36 simp321 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑉𝐴)
37 simp322 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑉 𝑊)
3836, 37jca 552 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
39 simp23 1088 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑃𝑄)
40 simp323 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄))
4115, 8, 16, 9, 17, 18cdleme22a 34442 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑇𝐴) ∧ ((𝑉𝐴𝑉 𝑊) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄))) → 𝑉 = 𝑈)
422, 12, 34, 6, 35, 38, 39, 40, 41syl233anc 1346 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑉 = 𝑈)
4342oveq2d 6543 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑂 𝑉) = (𝑂 𝑈))
44 cdleme22eALT.o . . . . 5 𝑂 = ((𝑃 𝑄) (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
4544oveq1i 6537 . . . 4 (𝑂 𝑈) = (((𝑃 𝑄) (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊))) 𝑈)
46 simp21r 1171 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ¬ 𝑃 𝑊)
4715, 8, 16, 9, 17, 18cdleme0a 34312 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑈𝐴)
482, 12, 5, 46, 6, 39, 47syl222anc 1333 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑈𝐴)
49 simp3rl 1126 . . . . . . . 8 ((𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊))) → 𝑧𝐴)
50493ad2ant3 1076 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑧𝐴)
51 cdleme22eALT.g . . . . . . . 8 𝐺 = ((𝑧 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
5215, 8, 16, 9, 17, 18, 51, 7cdleme1b 34327 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑧𝐴)) → 𝐺 ∈ (Base‘𝐾))
532, 12, 5, 6, 50, 52syl23anc 1324 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝐺 ∈ (Base‘𝐾))
547, 8, 9hlatjcl 33467 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑧𝐴) → (𝑇 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
552, 35, 50, 54syl3anc 1317 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
567, 16latmcl 16821 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 𝑧) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑇 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
574, 55, 26, 56syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
587, 8latjcl 16820 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
594, 53, 57, 58syl3anc 1317 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
6015, 8, 16, 9, 17, 18cdlemeulpq 34321 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑈 (𝑃 𝑄))
612, 12, 5, 6, 60syl22anc 1318 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑈 (𝑃 𝑄))
627, 15, 8, 16, 9atmod2i1 33961 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑈 (𝑃 𝑄)) → (((𝑃 𝑄) (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊))) 𝑈) = ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
632, 48, 11, 59, 61, 62syl131anc 1330 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (((𝑃 𝑄) (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊))) 𝑈) = ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
6445, 63syl5req 2656 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)) = (𝑂 𝑈))
6542oveq2d 6543 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑉) = (𝑇 𝑈))
6640, 65eqtr3d 2645 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑄) = (𝑇 𝑈))
677, 8, 9hlatjcl 33467 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑈𝐴) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
682, 35, 48, 67syl3anc 1317 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
697, 9atbase 33390 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
7050, 69syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
717, 15, 8latlej1 16829 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑇 𝑈) ((𝑇 𝑈) 𝑧))
724, 68, 70, 71syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑈) ((𝑇 𝑈) 𝑧))
738, 9hlatj32 33472 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇𝐴𝑈𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑇 𝑈) 𝑧) = ((𝑇 𝑧) 𝑈))
742, 35, 48, 50, 73syl13anc 1319 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑈) 𝑧) = ((𝑇 𝑧) 𝑈))
757, 9atbase 33390 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7648, 75syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
777, 8latj32 16866 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑧 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)) = ((𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
784, 70, 76, 57, 77syl13anc 1319 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑧 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)) = ((𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
797, 8latj32 16866 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) = ((𝐺 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
804, 53, 57, 76, 79syl13anc 1319 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) = ((𝐺 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
817, 8, 9hlatjcl 33467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑧𝐴) → (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
822, 5, 50, 81syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
8315, 8, 9hlatlej1 33475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑧𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑧))
842, 5, 50, 83syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑃 (𝑃 𝑧))
857, 15, 8, 16, 9atmod3i1 33964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑧)) → (𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑃 𝑧) (𝑃 𝑊)))
862, 5, 82, 26, 84, 85syl131anc 1330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑃 𝑧) (𝑃 𝑊)))
87 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8815, 8, 87, 9, 17lhpjat2 34121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
892, 12, 34, 88syl21anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
9089oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑧) (𝑃 𝑊)) = ((𝑃 𝑧) (1.‘𝐾)))
91 hlol 33462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
922, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝐾 ∈ OL)
937, 16, 87olm11 33328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑧) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑧))
9492, 82, 93syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑧) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑧))
9586, 90, 943eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = (𝑃 𝑧))
9695oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑄) = ((𝑃 𝑧) 𝑄))
9718oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑄 𝑈) = (𝑄 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
9815, 8, 9hlatlej2 33476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑄 (𝑃 𝑄))
992, 5, 6, 98syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑄 (𝑃 𝑄))
1007, 15, 8, 16, 9atmod3i1 33964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑄 (𝑃 𝑄)) → (𝑄 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑄 𝑊)))
1012, 6, 11, 26, 99, 100syl131anc 1330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑄 𝑊)))
10297, 101syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄 𝑈) = ((𝑃 𝑄) (𝑄 𝑊)))
103 simp22 1087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
10415, 8, 87, 9, 17lhpjat2 34121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑄 𝑊) = (1.‘𝐾))
1052, 12, 103, 104syl21anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄 𝑊) = (1.‘𝐾))
106105oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑄 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)))
1077, 16, 87olm11 33328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑄))
10892, 11, 107syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑄))
109102, 106, 1083eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄 𝑈) = (𝑃 𝑄))
110109oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑄 𝑈) ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
1117, 9atbase 33390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1125, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1137, 16latmcl 16821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑧) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
1144, 82, 26, 113syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
1157, 9atbase 33390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1166, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1177, 8latj32 16866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑄) = ((𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
1184, 112, 114, 116, 117syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑄) = ((𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
119110, 118eqtr4d 2646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑄 𝑈) ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑃 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑄))
1208, 9hlatj32 33472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) = ((𝑃 𝑧) 𝑄))
1212, 5, 6, 50, 120syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) = ((𝑃 𝑧) 𝑄))
12296, 119, 1213eqtr4rd 2654 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) = ((𝑄 𝑈) ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
1237, 8latj32 16866 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 𝑈) ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
1244, 116, 76, 114, 123syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑄 𝑈) ((𝑃 𝑧) 𝑊)) = ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
125122, 124eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) = ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
126125oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑧 𝑈) ((𝑃 𝑄) 𝑧)) = ((𝑧 𝑈) ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
1277, 8latjcl 16820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
1284, 11, 70, 127syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
1297, 15, 8latlej2 16830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑧 ((𝑃 𝑄) 𝑧))
1304, 11, 70, 129syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑧 ((𝑃 𝑄) 𝑧))
1317, 15, 8, 16, 9atmod1i1 33957 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑧𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑧) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ((𝑃 𝑄) 𝑧)) → (𝑧 (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧))) = ((𝑧 𝑈) ((𝑃 𝑄) 𝑧)))
1322, 50, 76, 128, 130, 131syl131anc 1330 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧 (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧))) = ((𝑧 𝑈) ((𝑃 𝑄) 𝑧)))
13351oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 𝑈) = (((𝑧 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊))) 𝑈)
1347, 8, 9hlatjcl 33467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝐴𝑈𝐴) → (𝑧 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1352, 50, 48, 134syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1367, 8latjcl 16820 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑧) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
1374, 116, 114, 136syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
13815, 8, 9hlatlej2 33476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝐴𝑈𝐴) → 𝑈 (𝑧 𝑈))
1392, 50, 48, 138syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑈 (𝑧 𝑈))
1407, 15, 8, 16, 9atmod2i1 33961 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑧 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑈 (𝑧 𝑈)) → (((𝑧 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊))) 𝑈) = ((𝑧 𝑈) ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
1412, 48, 135, 137, 139, 140syl131anc 1330 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (((𝑧 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊))) 𝑈) = ((𝑧 𝑈) ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
142133, 141syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝐺 𝑈) = ((𝑧 𝑈) ((𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)) 𝑈)))
143126, 132, 1423eqtr4rd 2654 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝐺 𝑈) = (𝑧 (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧))))
1447, 15, 8latlej1 16829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑄) 𝑧))
1454, 11, 70, 144syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑄) ((𝑃 𝑄) 𝑧))
1467, 15, 4, 76, 11, 128, 61, 145lattrd 16827 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧))
1477, 15, 16latleeqm1 16848 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑧) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧) ↔ (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧)) = 𝑈))
1484, 76, 128, 147syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧) ↔ (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧)) = 𝑈))
149146, 148mpbid 220 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧)) = 𝑈)
150149oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧 (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑧))) = (𝑧 𝑈))
151143, 150eqtrd 2643 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝐺 𝑈) = (𝑧 𝑈))
152151oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝐺 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)) = ((𝑧 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
15380, 152eqtrd 2643 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) = ((𝑧 𝑈) ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
15415, 8, 9hlatlej2 33476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑧𝐴) → 𝑧 (𝑇 𝑧))
1552, 35, 50, 154syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑧 (𝑇 𝑧))
1567, 15, 8, 16, 9atmod3i1 33964 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑇 𝑧) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 (𝑇 𝑧)) → (𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) = ((𝑇 𝑧) (𝑧 𝑊)))
1572, 50, 55, 26, 155, 156syl131anc 1330 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) = ((𝑇 𝑧) (𝑧 𝑊)))
158 simp33r 1181 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊))
15915, 8, 87, 9, 17lhpjat2 34121 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)) → (𝑧 𝑊) = (1.‘𝐾))
1602, 12, 158, 159syl21anc 1316 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑧 𝑊) = (1.‘𝐾))
161160oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑧) (𝑧 𝑊)) = ((𝑇 𝑧) (1.‘𝐾)))
1627, 16, 87olm11 33328 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑇 𝑧) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑇 𝑧) (1.‘𝐾)) = (𝑇 𝑧))
16392, 55, 162syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑧) (1.‘𝐾)) = (𝑇 𝑧))
164157, 161, 1633eqtrrd 2648 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑧) = (𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)))
165164oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑧) 𝑈) = ((𝑧 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
16678, 153, 1653eqtr4rd 2654 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑧) 𝑈) = ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
16774, 166eqtrd 2643 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑇 𝑈) 𝑧) = ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
16872, 167breqtrd 4603 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑇 𝑈) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
16966, 168eqbrtrd 4599 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈))
1707, 8latjcl 16820 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1714, 59, 76, 170syl3anc 1317 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1727, 15, 16latleeqm1 16848 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)) = (𝑃 𝑄)))
1734, 11, 171, 172syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)) = (𝑃 𝑄)))
174169, 173mpbid 220 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) ((𝐺 ((𝑇 𝑧) 𝑊)) 𝑈)) = (𝑃 𝑄))
17543, 64, 1743eqtr2rd 2650 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → (𝑃 𝑄) = (𝑂 𝑉))
17633, 175breqtrd 4603 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑇𝐴) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊 ∧ (𝑇 𝑉) = (𝑃 𝑄)) ∧ ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊)))) → 𝑁 (𝑂 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  lecple 15721  joincjn 16713  meetcmee 16714  1.cp1 16807  Latclat 16814  OLcol 33275  Atomscatm 33364  HLchlt 33451  LHypclh 34084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-psubsp 33603  df-pmap 33604  df-padd 33896  df-lhyp 34088
This theorem is referenced by:  cdleme26eALTN  34463
  Copyright terms: Public domain W3C validator