MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod0cl 18658
Description: The ring zero in a left module belongs to the ring base set. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod0cl.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod0cl.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmod0cl.z 0 = (0g𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmod0cl (𝑊 ∈ LMod → 0𝐾)

Proof of Theorem lmod0cl
StepHypRef Expression
1 lmod0cl.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21lmodring 18640 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3 lmod0cl.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
4 lmod0cl.z . . 3 0 = (0g𝐹)
53, 4ring0cl 18338 . 2 (𝐹 ∈ Ring → 0𝐾)
62, 5syl 17 1 (𝑊 ∈ LMod → 0𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  Basecbs 15641  Scalarcsca 15717  0gc0g 15869  Ringcrg 18316  LModclmod 18632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-ring 18318  df-lmod 18634
This theorem is referenced by:  lmodfopnelem2  18669  lmodfopne  18670  lss1d  18730  lspsolvlem  18909  iporthcom  19744  lfl0f  33177  lfl1dim  33229  lfl1dim2N  33230  lkrss2N  33277  baerlem5blem1  35819  hdmap14lem2a  35980  hdmap14lem4a  35984  hdmap14lem6  35986  hgmapval0  36005  hgmapeq0  36017  lincval1  42004  lcosn0  42005  lincvalsc0  42006  lcoc0  42007  linc1  42010  lcoss  42021  el0ldep  42051
  Copyright terms: Public domain W3C validator