Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1dim2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl1dim2N 33226
Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. TODO: delete this if not useful; lfl1dim 33225 may be more compatible with lspsn 18765. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1dim.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1dim.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1dim.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl1dim.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lfl1dim.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl1dim.t · = (.r𝐷)
lfl1dim.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lfl1dim.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl1dim2N (𝜑 → {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔𝐹 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))})
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑔,𝑘,𝜑   · ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   · (𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem lfl1dim2N
StepHypRef Expression
1 lfl1dim.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 18869 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lfl1dim.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5 lfl1dim.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝐷)
6 eqid 2605 . . . . . . . . 9 (0g𝐷) = (0g𝐷)
74, 5, 6lmod0cl 18654 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
83, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
98ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
10 simpr 475 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
11 lfl1dim.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
12 lfl1dim.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13 lfl1dim.t . . . . . . . 8 · = (.r𝐷)
143ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑊 ∈ LMod)
15 lfl1dim.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐹)
1615ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝐺𝐹)
1711, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 16lfl0sc 33186 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
1810, 17eqtr4d 2642 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
19 sneq 4130 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (0g𝐷) → {𝑘} = {(0g𝐷)})
2019xpeq2d 5049 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (0g𝐷) → (𝑉 × {𝑘}) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
2120oveq2d 6539 . . . . . . . 8 (𝑘 = (0g𝐷) → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2221eqeq2d 2615 . . . . . . 7 (𝑘 = (0g𝐷) → (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) ↔ 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2322rspcev 3277 . . . . . 6 (((0g𝐷) ∈ 𝐾𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))
249, 18, 23syl2anc 690 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))
2524a1d 25 . . . 4 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
268ad3antrrr 761 . . . . . 6 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
27 lfl1dim.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (LKer‘𝑊)
283ad3antrrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑊 ∈ LMod)
29 simpllr 794 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔𝐹)
3011, 12, 27, 28, 29lkrssv 33200 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐿𝑔) ⊆ 𝑉)
313adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
3215adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝐺𝐹)
334, 6, 11, 12, 27lkr0f 33198 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3431, 32, 33syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3534biimpar 500 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝐺) = 𝑉)
3635sseq1d 3590 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ 𝑉 ⊆ (𝐿𝑔)))
3736biimpa 499 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑉 ⊆ (𝐿𝑔))
3830, 37eqssd 3580 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐿𝑔) = 𝑉)
394, 6, 11, 12, 27lkr0f 33198 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐿𝑔) = 𝑉𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4028, 29, 39syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → ((𝐿𝑔) = 𝑉𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4138, 40mpbid 220 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
4215ad3antrrr 761 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝐺𝐹)
4311, 4, 12, 5, 13, 6, 28, 42lfl0sc 33186 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
4441, 43eqtr4d 2642 . . . . . 6 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4526, 44, 23syl2anc 690 . . . . 5 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))
4645ex 448 . . . 4 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
47 eqid 2605 . . . . . 6 (LSHyp‘𝑊) = (LSHyp‘𝑊)
481ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑊 ∈ LVec)
4915ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝐺𝐹)
50 simprr 791 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))
5111, 4, 6, 47, 12, 27lkrshp 33209 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
53 simplr 787 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑔𝐹)
54 simprl 789 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))
5511, 4, 6, 47, 12, 27lkrshp 33209 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5648, 53, 54, 55syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → (𝐿𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5747, 48, 52, 56lshpcmp 33092 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)))
581ad3antrrr 761 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝑊 ∈ LVec)
5915ad3antrrr 761 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝐺𝐹)
60 simpllr 794 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝑔𝐹)
61 simpr 475 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔))
624, 5, 13, 11, 12, 27eqlkr2 33204 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝑔𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))
6358, 59, 60, 61, 62syl121anc 1322 . . . . . 6 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))
6463ex 448 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) = (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
6557, 64sylbid 228 . . . 4 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
6625, 46, 65pm2.61da2ne 2865 . . 3 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
671ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑊 ∈ LVec)
6815ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝐺𝐹)
69 simpr 475 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑘𝐾)
7011, 4, 5, 13, 12, 27, 67, 68, 69lkrscss 33202 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
7170ex 448 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑘𝐾 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))))
72 fveq2 6084 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝑔) = (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
7372sseq2d 3591 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))))
7473biimprcd 238 . . . . 5 ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))) → (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)))
7571, 74syl6 34 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑘𝐾 → (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔))))
7675rexlimdv 3007 . . 3 ((𝜑𝑔𝐹) → (∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)))
7766, 76impbid 200 . 2 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
7877rabbidva 3158 1 (𝜑 → {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔𝐹 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wrex 2892  {crab 2895  wss 3535  {csn 4120   × cxp 5022  cfv 5786  (class class class)co 6523  𝑓 cof 6766  Basecbs 15637  .rcmulr 15711  Scalarcsca 15713  0gc0g 15865  LModclmod 18628  LVecclvec 18865  LSHypclsh 33079  LFnlclfn 33161  LKerclk 33189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-tpos 7212  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-0g 15867  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-subg 17356  df-cntz 17515  df-lsm 17816  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-drng 18514  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lsp 18735  df-lvec 18866  df-lshyp 33081  df-lfl 33162  df-lkr 33190
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator