Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1dim2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl1dim2N 34235
 Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. TODO: delete this if not useful; lfl1dim 34234 may be more compatible with lspsn 18996. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1dim.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1dim.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1dim.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl1dim.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lfl1dim.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl1dim.t · = (.r𝐷)
lfl1dim.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lfl1dim.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl1dim2N (𝜑 → {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔𝐹 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))})
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑔,𝑘,𝜑   · ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   · (𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem lfl1dim2N
StepHypRef Expression
1 lfl1dim.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19100 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lfl1dim.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5 lfl1dim.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝐷)
6 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (0g𝐷) = (0g𝐷)
74, 5, 6lmod0cl 18883 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
83, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
98ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
10 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
11 lfl1dim.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
12 lfl1dim.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13 lfl1dim.t . . . . . . . 8 · = (.r𝐷)
143ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑊 ∈ LMod)
15 lfl1dim.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐹)
1615ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝐺𝐹)
1711, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 16lfl0sc 34195 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
1810, 17eqtr4d 2658 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
19 sneq 4185 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (0g𝐷) → {𝑘} = {(0g𝐷)})
2019xpeq2d 5137 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (0g𝐷) → (𝑉 × {𝑘}) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
2120oveq2d 6663 . . . . . . . 8 (𝑘 = (0g𝐷) → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2221eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑘 = (0g𝐷) → (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) ↔ 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2322rspcev 3307 . . . . . 6 (((0g𝐷) ∈ 𝐾𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))
249, 18, 23syl2anc 693 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))
2524a1d 25 . . . 4 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
268ad3antrrr 766 . . . . . 6 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
27 lfl1dim.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (LKer‘𝑊)
283ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑊 ∈ LMod)
29 simpllr 799 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔𝐹)
3011, 12, 27, 28, 29lkrssv 34209 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐿𝑔) ⊆ 𝑉)
313adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
3215adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝐺𝐹)
334, 6, 11, 12, 27lkr0f 34207 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3431, 32, 33syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3534biimpar 502 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝐺) = 𝑉)
3635sseq1d 3630 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ 𝑉 ⊆ (𝐿𝑔)))
3736biimpa 501 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑉 ⊆ (𝐿𝑔))
3830, 37eqssd 3618 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐿𝑔) = 𝑉)
394, 6, 11, 12, 27lkr0f 34207 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐿𝑔) = 𝑉𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4028, 29, 39syl2anc 693 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → ((𝐿𝑔) = 𝑉𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4138, 40mpbid 222 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
4215ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝐺𝐹)
4311, 4, 12, 5, 13, 6, 28, 42lfl0sc 34195 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
4441, 43eqtr4d 2658 . . . . . 6 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4526, 44, 23syl2anc 693 . . . . 5 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))
4645ex 450 . . . 4 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
47 eqid 2621 . . . . . 6 (LSHyp‘𝑊) = (LSHyp‘𝑊)
481ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑊 ∈ LVec)
4915ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝐺𝐹)
50 simprr 796 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))
5111, 4, 6, 47, 12, 27lkrshp 34218 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1325 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
53 simplr 792 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑔𝐹)
54 simprl 794 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))
5511, 4, 6, 47, 12, 27lkrshp 34218 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5648, 53, 54, 55syl3anc 1325 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → (𝐿𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5747, 48, 52, 56lshpcmp 34101 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)))
581ad3antrrr 766 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝑊 ∈ LVec)
5915ad3antrrr 766 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝐺𝐹)
60 simpllr 799 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝑔𝐹)
61 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔))
624, 5, 13, 11, 12, 27eqlkr2 34213 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝑔𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))
6358, 59, 60, 61, 62syl121anc 1330 . . . . . 6 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))
6463ex 450 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) = (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
6557, 64sylbid 230 . . . 4 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
6625, 46, 65pm2.61da2ne 2881 . . 3 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
671ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑊 ∈ LVec)
6815ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝐺𝐹)
69 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑘𝐾)
7011, 4, 5, 13, 12, 27, 67, 68, 69lkrscss 34211 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
7170ex 450 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑘𝐾 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))))
72 fveq2 6189 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝑔) = (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
7372sseq2d 3631 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))))
7473biimprcd 240 . . . . 5 ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))) → (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)))
7571, 74syl6 35 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑘𝐾 → (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔))))
7675rexlimdv 3028 . . 3 ((𝜑𝑔𝐹) → (∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)))
7766, 76impbid 202 . 2 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
7877rabbidva 3186 1 (𝜑 → {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔𝐹 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793  ∃wrex 2912  {crab 2915   ⊆ wss 3572  {csn 4175   × cxp 5110  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647   ∘𝑓 cof 6892  Basecbs 15851  .rcmulr 15936  Scalarcsca 15938  0gc0g 16094  LModclmod 18857  LVecclvec 19096  LSHypclsh 34088  LFnlclfn 34170  LKerclk 34198 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-tpos 7349  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-map 7856  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-sbg 17421  df-subg 17585  df-cntz 17744  df-lsm 18045  df-cmn 18189  df-abl 18190  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-oppr 18617  df-dvdsr 18635  df-unit 18636  df-invr 18666  df-drng 18743  df-lmod 18859  df-lss 18927  df-lsp 18966  df-lvec 19097  df-lshyp 34090  df-lfl 34171  df-lkr 34199 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator