Theorem lnopunii 29101

Description: If a linear operator (whose range is ℋ) is idempotent in the norm, the operator is unitary. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopuni.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnopuni.2	⊢ 𝑇: ℋ–onto→ ℋ
lnopuni.3	⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)

Assertion

Ref	Expression
lnopunii	⊢ 𝑇 ∈ UniOp

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnopunii

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopuni.2	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ–onto→ ℋ
2		fveq2 6304	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)))
3	2	oveq1d 6780	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)))
4		oveq1 6772	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦))
5	3, 4	eqeq12d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦)))
6		fveq2 6304	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (𝑇‘𝑦) = (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)))
7	6	oveq2d 6781	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))))
8		oveq2 6773	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)))
9	7, 8	eqeq12d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))))
10		lnopuni.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
11		lnopuni.3	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)
12		ifhvhv0 28109	. . . . 5 ⊢ if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ∈ ℋ
13		ifhvhv0 28109	. . . . 5 ⊢ if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ∈ ℋ
14	10, 11, 12, 13	lnopunilem2 29100	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))
15	5, 9, 14	dedth2h 4248	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
16	15	rgen2a 3079	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)
17		elunop 28961	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp ↔ (𝑇: ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
18	1, 16, 17	mpbir2an 993	1 ⊢ 𝑇 ∈ UniOp

Syntax hints:   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  ∀wral 3014  ifcif 4194  –onto→wfo 5999  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765   ℋchil 28006   ·_ih csp 28009  norm_ℎcno 28010  0_ℎc0v 28011  LinOpclo 28034  UniOpcuo 28036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-hilex 28086  ax-hfvadd 28087  ax-hv0cl 28090  ax-hfvmul 28092  ax-hvmul0 28097  ax-hfi 28166  ax-his1 28169  ax-his2 28170  ax-his3 28171  ax-his4 28172

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-hnorm 28055  df-lnop 28930  df-unop 28932

This theorem is referenced by:  elunop2  29102