Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopunii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopunii 29101
 Description: If a linear operator (whose range is ℋ) is idempotent in the norm, the operator is unitary. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopuni.1 𝑇 ∈ LinOp
lnopuni.2 𝑇: ℋ–onto→ ℋ
lnopuni.3 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
Assertion
Ref Expression
lnopunii 𝑇 ∈ UniOp
Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnopunii
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopuni.2 . 2 𝑇: ℋ–onto→ ℋ
2 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)))
32oveq1d 6780 . . . . 5 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)) ·ih (𝑇𝑦)))
4 oveq1 6772 . . . . 5 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ·ih 𝑦))
53, 4eqeq12d 2739 . . . 4 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) → (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)) ·ih (𝑇𝑦)) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ·ih 𝑦)))
6 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0)))
76oveq2d 6781 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) → ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0))))
8 oveq2 6773 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) → (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ·ih 𝑦) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0)))
97, 8eqeq12d 2739 . . . 4 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) → (((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)) ·ih (𝑇𝑦)) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0))) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0))))
10 lnopuni.1 . . . . 5 𝑇 ∈ LinOp
11 lnopuni.3 . . . . 5 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
12 ifhvhv0 28109 . . . . 5 if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ∈ ℋ
13 ifhvhv0 28109 . . . . 5 if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) ∈ ℋ
1410, 11, 12, 13lnopunilem2 29100 . . . 4 ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0))) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0))
155, 9, 14dedth2h 4248 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
1615rgen2a 3079 . 2 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)
17 elunop 28961 . 2 (𝑇 ∈ UniOp ↔ (𝑇: ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
181, 16, 17mpbir2an 993 1 𝑇 ∈ UniOp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  ∀wral 3014  ifcif 4194  –onto→wfo 5999  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765   ℋchil 28006   ·ih csp 28009  normℎcno 28010  0ℎc0v 28011  LinOpclo 28034  UniOpcuo 28036 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-hilex 28086  ax-hfvadd 28087  ax-hv0cl 28090  ax-hfvmul 28092  ax-hvmul0 28097  ax-hfi 28166  ax-his1 28169  ax-his2 28170  ax-his3 28171  ax-his4 28172 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-hnorm 28055  df-lnop 28930  df-unop 28932 This theorem is referenced by:  elunop2  29102
 Copyright terms: Public domain W3C validator