HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopunii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopunii 29101
Description: If a linear operator (whose range is ) is idempotent in the norm, the operator is unitary. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopuni.1 𝑇 ∈ LinOp
lnopuni.2 𝑇: ℋ–onto→ ℋ
lnopuni.3 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
Assertion
Ref Expression
lnopunii 𝑇 ∈ UniOp
Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnopunii
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopuni.2 . 2 𝑇: ℋ–onto→ ℋ
2 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)))
32oveq1d 6780 . . . . 5 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)) ·ih (𝑇𝑦)))
4 oveq1 6772 . . . . 5 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ·ih 𝑦))
53, 4eqeq12d 2739 . . . 4 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) → (((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)) ·ih (𝑇𝑦)) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ·ih 𝑦)))
6 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0)))
76oveq2d 6781 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) → ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0))))
8 oveq2 6773 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) → (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ·ih 𝑦) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0)))
97, 8eqeq12d 2739 . . . 4 (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) → (((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)) ·ih (𝑇𝑦)) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0))) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0))))
10 lnopuni.1 . . . . 5 𝑇 ∈ LinOp
11 lnopuni.3 . . . . 5 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
12 ifhvhv0 28109 . . . . 5 if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ∈ ℋ
13 ifhvhv0 28109 . . . . 5 if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0) ∈ ℋ
1410, 11, 12, 13lnopunilem2 29100 . . . 4 ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0))) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0))
155, 9, 14dedth2h 4248 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
1615rgen2a 3079 . 2 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)
17 elunop 28961 . 2 (𝑇 ∈ UniOp ↔ (𝑇: ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
181, 16, 17mpbir2an 993 1 𝑇 ∈ UniOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  ifcif 4194  ontowfo 5999  cfv 6001  (class class class)co 6765  chil 28006   ·ih csp 28009  normcno 28010  0c0v 28011  LinOpclo 28034  UniOpcuo 28036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-hilex 28086  ax-hfvadd 28087  ax-hv0cl 28090  ax-hfvmul 28092  ax-hvmul0 28097  ax-hfi 28166  ax-his1 28169  ax-his2 28170  ax-his3 28171  ax-his4 28172
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-hnorm 28055  df-lnop 28930  df-unop 28932
This theorem is referenced by:  elunop2  29102
  Copyright terms: Public domain W3C validator