MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspdisj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspdisj2 19067
Description: Unequal spans are disjoint (share only the zero vector). (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspdisj2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisj2.o 0 = (0g𝑊)
lspdisj2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisj2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspdisj2.x (𝜑𝑋𝑉)
lspdisj2.y (𝜑𝑌𝑉)
lspdisj2.q (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lspdisj2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })

Proof of Theorem lspdisj2
StepHypRef Expression
1 sneq 4165 . . . . . 6 (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
21fveq2d 6162 . . . . 5 (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
3 lspdisj2.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 19046 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lspdisj2.o . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
7 lspdisj2.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
86, 7lspsn0 18948 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
95, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
102, 9sylan9eqr 2677 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
1110ineq1d 3797 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})))
12 lspdisj2.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
13 lspdisj2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
14 eqid 2621 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
1513, 14, 7lspsncl 18917 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
165, 12, 15syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
176, 14lss0ss 18889 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
185, 16, 17syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
19 df-ss 3574 . . . . 5 ({ 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
2018, 19sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
2120adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0 ) → ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
2211, 21eqtrd 2655 . 2 ((𝜑𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
233adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
2416adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25 lspdisj2.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
2625adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑋𝑉)
27 lspdisj2.q . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2827adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2923adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
3012adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑌𝑉)
3130adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌𝑉)
32 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
33 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋0 )
3413, 6, 7, 29, 31, 32, 33lspsneleq 19055 . . . . . 6 (((𝜑𝑋0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3534ex 450 . . . . 5 ((𝜑𝑋0 ) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
3635necon3ad 2803 . . . 4 ((𝜑𝑋0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
3728, 36mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑋0 ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
3813, 6, 7, 14, 23, 24, 26, 37lspdisj 19065 . 2 ((𝜑𝑋0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
3922, 38pm2.61dane 2877 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cin 3559  wss 3560  {csn 4155  cfv 5857  Basecbs 15800  0gc0g 16040  LModclmod 18803  LSubSpclss 18872  LSpanclspn 18911  LVecclvec 19042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-drng 18689  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-lsp 18912  df-lvec 19043
This theorem is referenced by:  lvecindp2  19079  hdmaprnlem9N  36668
  Copyright terms: Public domain W3C validator