Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem9N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem9N 35963
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 21, s=S(t). TODO: we seem to be going back and forth with mapd11 35742 and mapdcnv11N 35762. Use better hypotheses and/or theorems? (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem1.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (𝜑𝑣𝑉)
hdmaprnlem1.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (𝜑𝑢𝑉)
hdmaprnlem1.un (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmaprnlem1.a = (+g𝐶)
hdmaprnlem1.t2 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
hdmaprnlem1.p + = (+g𝑈)
hdmaprnlem1.pt (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem9N (𝜑𝑠 = (𝑆𝑡))

Proof of Theorem hdmaprnlem9N
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmaprnlem1.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmaprnlem1.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmaprnlem1.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 hdmaprnlem1.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 hdmaprnlem1.l . . . . . 6 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
7 hdmaprnlem1.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmaprnlem1.s . . . . . 6 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9 hdmaprnlem1.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 hdmaprnlem1.se . . . . . 6 (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
11 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6 (𝜑𝑣𝑉)
12 hdmaprnlem1.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
13 hdmaprnlem1.ue . . . . . 6 (𝜑𝑢𝑉)
14 hdmaprnlem1.un . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
15 hdmaprnlem1.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐶)
16 hdmaprnlem1.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝐶)
17 hdmaprnlem1.o . . . . . 6 0 = (0g𝑈)
18 hdmaprnlem1.a . . . . . 6 = (+g𝐶)
19 hdmaprnlem1.t2 . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
20 hdmaprnlem1.p . . . . . 6 + = (+g𝑈)
21 hdmaprnlem1.pt . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21hdmaprnlem7N 35961 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21hdmaprnlem8N 35962 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19hdmaprnlem4N 35959 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝐿‘{𝑠}))
2523, 24eleqtrd 2689 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{𝑠}))
2622, 25elind 3759 . . . 4 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ ((𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∩ (𝐿‘{𝑠})))
271, 5, 9lcdlvec 35694 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
281, 5, 9lcdlmod 35695 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
291, 2, 3, 5, 15, 8, 9, 13hdmapcl 35936 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ 𝐷)
3010eldifad 3551 . . . . . 6 (𝜑𝑠𝐷)
3115, 18lmodvacl 18646 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑢) ∈ 𝐷𝑠𝐷) → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
3228, 29, 30, 31syl3anc 1317 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
33 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
3415, 33, 6lspsncl 18744 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐷) → (𝐿‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
3528, 30, 34syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
361, 7, 5, 33, 9mapdrn2 35754 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
3735, 36eleqtrrd 2690 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ∈ ran 𝑀)
381, 7, 9, 37mapdcnvid2 35760 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))) = (𝐿‘{𝑠}))
3912, 38eqtr4d 2646 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))))
40 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
411, 2, 9dvhlmod 35213 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
423, 40, 4lspsncl 18744 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4341, 11, 42syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
441, 7, 2, 40, 9, 37mapdcnvcl 35755 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
451, 2, 40, 7, 9, 43, 44mapd11 35742 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))) ↔ (𝑁‘{𝑣}) = (𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))))
4639, 45mpbid 220 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})))
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18hdmaprnlem3N 35956 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4846, 47eqnetrrd 2849 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4915, 33, 6lspsncl 18744 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
5028, 32, 49syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
5150, 36eleqtrrd 2690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
521, 7, 9, 37, 51mapdcnv11N 35762 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) = (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝐿‘{𝑠}) = (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
5352necon3bid 2825 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝐿‘{𝑠}) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
5448, 53mpbid 220 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
5554necomd 2836 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))
5615, 16, 6, 27, 32, 30, 55lspdisj2 18894 . . . 4 (𝜑 → ((𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∩ (𝐿‘{𝑠})) = {𝑄})
5726, 56eleqtrd 2689 . . 3 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ {𝑄})
58 elsni 4141 . . 3 ((𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ {𝑄} → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄)
5957, 58syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄)
601, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19hdmaprnlem4tN 35958 . . . 4 (𝜑𝑡𝑉)
611, 2, 3, 5, 15, 8, 9, 60hdmapcl 35936 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑡) ∈ 𝐷)
62 eqid 2609 . . . 4 (-g𝐶) = (-g𝐶)
6315, 16, 62lmodsubeq0 18691 . . 3 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐷 ∧ (𝑆𝑡) ∈ 𝐷) → ((𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄𝑠 = (𝑆𝑡)))
6428, 30, 61, 63syl3anc 1317 . 2 (𝜑 → ((𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄𝑠 = (𝑆𝑡)))
6559, 64mpbid 220 1 (𝜑𝑠 = (𝑆𝑡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cdif 3536  cin 3538  {csn 4124  ccnv 5027  ran crn 5029  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  0gc0g 15869  -gcsg 17193  LModclmod 18632  LSubSpclss 18699  LSpanclspn 18738  HLchlt 33451  LHypclh 34084  DVecHcdvh 35181  LCDualclcd 35689  mapdcmpd 35727  HDMapchdma 35896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-riotaBAD 33053
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-undef 7263  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-0g 15871  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-subg 17360  df-cntz 17519  df-oppg 17545  df-lsm 17820  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-drng 18518  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-lvec 18870  df-lsatoms 33077  df-lshyp 33078  df-lcv 33120  df-lfl 33159  df-lkr 33187  df-ldual 33225  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-llines 33598  df-lplanes 33599  df-lvols 33600  df-lines 33601  df-psubsp 33603  df-pmap 33604  df-padd 33896  df-lhyp 34088  df-laut 34089  df-ldil 34204  df-ltrn 34205  df-trl 34260  df-tgrp 34845  df-tendo 34857  df-edring 34859  df-dveca 35105  df-disoa 35132  df-dvech 35182  df-dib 35242  df-dic 35276  df-dih 35332  df-doch 35451  df-djh 35498  df-lcdual 35690  df-mapd 35728  df-hvmap 35860  df-hdmap1 35897  df-hdmap 35898
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem10N  35965
  Copyright terms: Public domain W3C validator