Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem9N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem9N 37466
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 21, s=S(t). TODO: we seem to be going back and forth with mapd11 37245 and mapdcnv11N 37265. Use better hypotheses and/or theorems? (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem1.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (𝜑𝑣𝑉)
hdmaprnlem1.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (𝜑𝑢𝑉)
hdmaprnlem1.un (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmaprnlem1.a = (+g𝐶)
hdmaprnlem1.t2 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
hdmaprnlem1.p + = (+g𝑈)
hdmaprnlem1.pt (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem9N (𝜑𝑠 = (𝑆𝑡))

Proof of Theorem hdmaprnlem9N
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmaprnlem1.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmaprnlem1.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmaprnlem1.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 hdmaprnlem1.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 hdmaprnlem1.l . . . . . 6 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
7 hdmaprnlem1.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmaprnlem1.s . . . . . 6 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9 hdmaprnlem1.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 hdmaprnlem1.se . . . . . 6 (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
11 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6 (𝜑𝑣𝑉)
12 hdmaprnlem1.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
13 hdmaprnlem1.ue . . . . . 6 (𝜑𝑢𝑉)
14 hdmaprnlem1.un . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
15 hdmaprnlem1.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐶)
16 hdmaprnlem1.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝐶)
17 hdmaprnlem1.o . . . . . 6 0 = (0g𝑈)
18 hdmaprnlem1.a . . . . . 6 = (+g𝐶)
19 hdmaprnlem1.t2 . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
20 hdmaprnlem1.p . . . . . 6 + = (+g𝑈)
21 hdmaprnlem1.pt . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21hdmaprnlem7N 37464 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21hdmaprnlem8N 37465 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19hdmaprnlem4N 37462 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑡})) = (𝐿‘{𝑠}))
2523, 24eleqtrd 2732 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{𝑠}))
2622, 25elind 3831 . . . 4 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ ((𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∩ (𝐿‘{𝑠})))
271, 5, 9lcdlvec 37197 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
281, 5, 9lcdlmod 37198 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
291, 2, 3, 5, 15, 8, 9, 13hdmapcl 37439 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ 𝐷)
3010eldifad 3619 . . . . . 6 (𝜑𝑠𝐷)
3115, 18lmodvacl 18925 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑢) ∈ 𝐷𝑠𝐷) → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
3228, 29, 30, 31syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
33 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
3415, 33, 6lspsncl 19025 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐷) → (𝐿‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
3528, 30, 34syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
361, 7, 5, 33, 9mapdrn2 37257 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
3735, 36eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ∈ ran 𝑀)
381, 7, 9, 37mapdcnvid2 37263 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))) = (𝐿‘{𝑠}))
3912, 38eqtr4d 2688 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))))
40 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
411, 2, 9dvhlmod 36716 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
423, 40, 4lspsncl 19025 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4341, 11, 42syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
441, 7, 2, 40, 9, 37mapdcnvcl 37258 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
451, 2, 40, 7, 9, 43, 44mapd11 37245 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))) ↔ (𝑁‘{𝑣}) = (𝑀‘(𝐿‘{𝑠}))))
4639, 45mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})))
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18hdmaprnlem3N 37459 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4846, 47eqnetrrd 2891 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4915, 33, 6lspsncl 19025 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
5028, 32, 49syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
5150, 36eleqtrrd 2733 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
521, 7, 9, 37, 51mapdcnv11N 37265 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) = (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝐿‘{𝑠}) = (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
5352necon3bid 2867 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐿‘{𝑠})) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝐿‘{𝑠}) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
5448, 53mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
5554necomd 2878 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))
5615, 16, 6, 27, 32, 30, 55lspdisj2 19175 . . . 4 (𝜑 → ((𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∩ (𝐿‘{𝑠})) = {𝑄})
5726, 56eleqtrd 2732 . . 3 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ {𝑄})
58 elsni 4227 . . 3 ((𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ {𝑄} → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄)
5957, 58syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄)
601, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19hdmaprnlem4tN 37461 . . . 4 (𝜑𝑡𝑉)
611, 2, 3, 5, 15, 8, 9, 60hdmapcl 37439 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑡) ∈ 𝐷)
62 eqid 2651 . . . 4 (-g𝐶) = (-g𝐶)
6315, 16, 62lmodsubeq0 18970 . . 3 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐷 ∧ (𝑆𝑡) ∈ 𝐷) → ((𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄𝑠 = (𝑆𝑡)))
6428, 30, 61, 63syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → ((𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) = 𝑄𝑠 = (𝑆𝑡)))
6559, 64mpbid 222 1 (𝜑𝑠 = (𝑆𝑡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cdif 3604  cin 3606  {csn 4210  ccnv 5142  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  -gcsg 17471  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  HLchlt 34955  LHypclh 35588  DVecHcdvh 36684  LCDualclcd 37192  mapdcmpd 37230  HDMapchdma 37399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lsatoms 34581  df-lshyp 34582  df-lcv 34624  df-lfl 34663  df-lkr 34691  df-ldual 34729  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tgrp 36348  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-dveca 36608  df-disoa 36635  df-dvech 36685  df-dib 36745  df-dic 36779  df-dih 36835  df-doch 36954  df-djh 37001  df-lcdual 37193  df-mapd 37231  df-hvmap 37363  df-hdmap1 37400  df-hdmap 37401
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem10N  37468
  Copyright terms: Public domain W3C validator