MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspun 18927
Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspun ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → (𝑁‘(𝑇𝑈)) = (𝑁‘((𝑁𝑇) ∪ (𝑁𝑈))))

Proof of Theorem lspun
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2 simp2 1060 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → 𝑇𝑉)
3 simp3 1061 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → 𝑈𝑉)
42, 3unssd 3773 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑉)
5 ssun1 3760 . . . . . . 7 𝑇 ⊆ (𝑇𝑈)
65a1i 11 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑇𝑈))
7 lspss.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 lspss.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
97, 8lspss 18924 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑉𝑇 ⊆ (𝑇𝑈)) → (𝑁𝑇) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)))
101, 4, 6, 9syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → (𝑁𝑇) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)))
11 ssun2 3761 . . . . . . 7 𝑈 ⊆ (𝑇𝑈)
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑇𝑈))
137, 8lspss 18924 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑉𝑈 ⊆ (𝑇𝑈)) → (𝑁𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)))
141, 4, 12, 13syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)))
1510, 14unssd 3773 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → ((𝑁𝑇) ∪ (𝑁𝑈)) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)))
167, 8lspssv 18923 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑇𝑈)) ⊆ 𝑉)
171, 4, 16syl2anc 692 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → (𝑁‘(𝑇𝑈)) ⊆ 𝑉)
1815, 17sstrd 3598 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → ((𝑁𝑇) ∪ (𝑁𝑈)) ⊆ 𝑉)
197, 8lspssid 18925 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁𝑇))
201, 2, 19syl2anc 692 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁𝑇))
217, 8lspssid 18925 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
221, 3, 21syl2anc 692 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
23 unss12 3769 . . . 4 ((𝑇 ⊆ (𝑁𝑇) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈)) → (𝑇𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) ∪ (𝑁𝑈)))
2420, 22, 23syl2anc 692 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → (𝑇𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) ∪ (𝑁𝑈)))
257, 8lspss 18924 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑁𝑇) ∪ (𝑁𝑈)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) ∪ (𝑁𝑈))) → (𝑁‘(𝑇𝑈)) ⊆ (𝑁‘((𝑁𝑇) ∪ (𝑁𝑈))))
261, 18, 24, 25syl3anc 1323 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → (𝑁‘(𝑇𝑈)) ⊆ (𝑁‘((𝑁𝑇) ∪ (𝑁𝑈))))
277, 8lspss 18924 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝑇𝑈)) ⊆ 𝑉 ∧ ((𝑁𝑇) ∪ (𝑁𝑈)) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈))) → (𝑁‘((𝑁𝑇) ∪ (𝑁𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑁‘(𝑇𝑈))))
281, 17, 15, 27syl3anc 1323 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → (𝑁‘((𝑁𝑇) ∪ (𝑁𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑁‘(𝑇𝑈))))
297, 8lspidm 18926 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑇𝑈))) = (𝑁‘(𝑇𝑈)))
301, 4, 29syl2anc 692 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑇𝑈))) = (𝑁‘(𝑇𝑈)))
3128, 30sseqtrd 3626 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → (𝑁‘((𝑁𝑇) ∪ (𝑁𝑈))) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)))
3226, 31eqssd 3605 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → (𝑁‘(𝑇𝑈)) = (𝑁‘((𝑁𝑇) ∪ (𝑁𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cun 3558  wss 3560  cfv 5857  Basecbs 15800  LModclmod 18803  LSpanclspn 18911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-lsp 18912
This theorem is referenced by:  lspun0  18951  lsmsp2  19027  lsmpr  19029  lsppr  19033  islshpsm  33786  lshpnel2N  33791  lkrlsp3  33910  dochsatshp  36259
  Copyright terms: Public domain W3C validator