MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspssid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspssid 19033
Description: A set of vectors is a subset of its span. (spanss2 28332 analog.) (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspssid ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))

Proof of Theorem lspssid
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4527 . 2 𝑈 {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡}
2 lspss.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 eqid 2651 . . 3 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4 lspss.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
52, 3, 4lspval 19023 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
61, 5syl5sseqr 3687 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  wss 3607   cint 4507  cfv 5926  Basecbs 15904  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020
This theorem is referenced by:  lspun  19035  lspsnid  19041  lsslsp  19063  lmhmlsp  19097  lsmsp  19134  lsmssspx  19136  lspvadd  19144  lspsolvlem  19190  lspsolv  19191  lsppratlem3  19197  lsppratlem4  19198  islbs3  19203  lbsextlem2  19207  lbsextlem4  19209  rspssid  19271  ocvlsp  20068  obselocv  20120  frlmsslsp  20183  lindff1  20207  islinds3  20221  lindsenlbs  33534  dochocsp  36985  djhunssN  37015  islssfg2  37958
  Copyright terms: Public domain W3C validator