Theorem mat1rngiso 21095

Description: There is a ring isomorphism from a ring to the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1rhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
mat1rhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})

Assertion

Ref	Expression
mat1rngiso	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝐸   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem mat1rngiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1rhmval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		mat1rhmval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
3		mat1rhmval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		mat1rhmval.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
5		mat1rhmval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
6	1, 2, 3, 4, 5	mat1rhm 21094	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝐴))
7	1, 2, 3, 4, 5	mat1f1o 21087	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵)
8		snfi 8594	. . . 4 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
9		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
10	2	matring 21052	. . . 4 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
11	8, 9, 10	sylancr 589	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
12	1, 3	isrim 19485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ Ring) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝐴) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝐴) ∧ 𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵)))
13	11, 12	syldan 593	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝐴) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝐴) ∧ 𝐹:𝐾–1-1-onto→𝐵)))
14	6, 7, 13	mpbir2and 711	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {csn 4567  ⟨cop 4573   ↦ cmpt 5146  –1-1-onto→wf1o 6354  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Fincfn 8509  Basecbs 16483  Ringcrg 19297   RingHom crh 19464   RingIso crs 19465   Mat cmat 21016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-hash 13692  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-rnghom 19467  df-rngiso 19468  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-mamu 20995  df-mat 21017

This theorem is referenced by:  mat1ric  21096