MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mideulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mideulem 25528
Description: Lemma for mideu 25530. We can assume mideulem.9 "without loss of generality" (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mideu.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mideu.1 (𝜑𝐴𝑃)
mideu.2 (𝜑𝐵𝑃)
mideulem.1 (𝜑𝐴𝐵)
mideulem.2 (𝜑𝑄𝑃)
mideulem.3 (𝜑𝑂𝑃)
mideulem.4 (𝜑𝑇𝑃)
mideulem.5 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑄𝐿𝐵))
mideulem.6 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑂))
mideulem.7 (𝜑𝑇 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
mideulem.8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑄𝐼𝑂))
mideulem.9 (𝜑 → (𝐴 𝑂)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑄))
Assertion
Ref Expression
mideulem (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑂   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem mideulem
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprrl 803 . . 3 ((((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝑂 = ((𝑆𝑥)‘𝑟)))) → 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
2 colperpex.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 colperpex.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
4 colperpex.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 colperpex.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 colperpex.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 mideu.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
9 mideu.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
109ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐴𝑃)
11 mideu.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1211ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐵𝑃)
13 mideulem.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
1413ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐴𝐵)
15 mideulem.2 . . . . 5 (𝜑𝑄𝑃)
1615ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑄𝑃)
17 mideulem.3 . . . . 5 (𝜑𝑂𝑃)
1817ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑂𝑃)
19 mideulem.4 . . . . 5 (𝜑𝑇𝑃)
2019ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑇𝑃)
21 mideulem.5 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑄𝐿𝐵))
2221ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑄𝐿𝐵))
23 mideulem.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑂))
2423ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑂))
25 mideulem.7 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
2625ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑇 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
27 mideulem.8 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (𝑄𝐼𝑂))
2827ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑇 ∈ (𝑄𝐼𝑂))
29 simplr 791 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑟𝑃)
30 simprl 793 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄))
31 simprr 795 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))
322, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 31opphllem 25527 . . 3 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝑂 = ((𝑆𝑥)‘𝑟)))
331, 32reximddv 3012 . 2 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
34 mideulem.9 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝑂)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑄))
35 eqid 2621 . . . 4 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
362, 3, 4, 35, 6, 9, 17, 11, 15legov 25380 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝑂)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑄) ↔ ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))))
3734, 36mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟)))
3833, 37r19.29a 3071 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  distcds 15871  TarskiGcstrkg 25229  Itvcitv 25235  LineGclng 25236  ≤Gcleg 25377  pInvGcmir 25447  ⟂Gcperpg 25490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-s2 13530  df-s3 13531  df-trkgc 25247  df-trkgb 25248  df-trkgcb 25249  df-trkg 25252  df-cgrg 25306  df-leg 25378  df-mir 25448  df-rag 25489  df-perpg 25491
This theorem is referenced by:  midex  25529
  Copyright terms: Public domain W3C validator