Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  midofsegid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem midofsegid 32336
 Description: If two points fall in the same place in the middle of a segment, then they are identical. (Contributed by Scott Fenton, 16-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
midofsegid ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩) → 𝐷 = 𝐸))

Proof of Theorem midofsegid
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 simp2l 1107 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
3 simp3r 1110 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
4 simp3l 1109 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 simprr 811 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩) ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐸⟩)) → 𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐸⟩)
6 simprl3 1128 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩) ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐸⟩)) → ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩)
71, 2, 4, 2, 3, 6cgrcomand 32223 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩) ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐸⟩)) → ⟨𝐴, 𝐸⟩Cgr⟨𝐴, 𝐷⟩)
81, 2, 3, 4, 5, 7endofsegidand 32318 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩) ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐸⟩)) → 𝐸 = 𝐷)
98eqcomd 2657 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩) ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐸⟩)) → 𝐷 = 𝐸)
109expr 642 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩)) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐸⟩ → 𝐷 = 𝐸))
11 simprr 811 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩) ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) → 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)
12 simprl3 1128 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩) ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) → ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩)
131, 2, 4, 3, 11, 12endofsegidand 32318 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩) ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) → 𝐷 = 𝐸)
1413expr 642 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩)) → (𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ → 𝐷 = 𝐸))
15 3simpa 1078 . . . . 5 ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
1615adantl 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩)) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))
17 simp2r 1108 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
18 btwnconn3 32335 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐸⟩ ∨ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)))
191, 2, 4, 3, 17, 18syl122anc 1375 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐸⟩ ∨ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)))
2019adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩)) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐸⟩ ∨ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)))
2116, 20mpd 15 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩)) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐸⟩ ∨ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))
2210, 14, 21mpjaod 395 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩)) → 𝐷 = 𝐸)
2322ex 449 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝐸⟩) → 𝐷 = 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  ℕcn 11058  𝔼cee 25813   Btwn cbtwn 25814  Cgrccgr 25815 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-ee 25816  df-btwn 25817  df-cgr 25818  df-ofs 32215  df-colinear 32271  df-ifs 32272  df-cgr3 32273  df-fs 32274 This theorem is referenced by:  outsideofeq  32362
 Copyright terms: Public domain W3C validator