Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirln2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirln2 25566
 Description: If a point and its mirror point are both on the same line, so is the center of the point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirln2.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirln2.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
mirln2.a (𝜑𝐴𝑃)
mirln2.1 (𝜑𝐵𝐷)
mirln2.2 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
mirln2 (𝜑𝐴𝐷)

Proof of Theorem mirln2
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirln2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
8 mirln2.m . . . . 5 𝑀 = (𝑆𝐴)
9 mirln2.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
10 mirln2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
111, 4, 3, 6, 9, 10tglnpt 25438 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11mirinv 25555 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝐵) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
1312biimpa 501 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
1410adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐵) → 𝐵𝐷)
1513, 14eqeltrd 2700 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐵) → 𝐴𝐷)
166adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17 mirln2.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝐷)
181, 4, 3, 6, 9, 17tglnpt 25438 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝑃)
1918adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀𝐵) ∈ 𝑃)
2011adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐵𝑃)
217adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴𝑃)
22 simpr 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀𝐵) ≠ 𝐵)
231, 2, 3, 4, 5, 16, 21, 8, 20mirbtwn 25547 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝐵)𝐼𝐵))
241, 3, 4, 16, 19, 20, 21, 22, 23btwnlng1 25508 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝐵)𝐿𝐵))
259adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2617adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀𝐵) ∈ 𝐷)
2710adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐵𝐷)
281, 3, 4, 16, 19, 20, 22, 22, 25, 26, 27tglinethru 25525 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐷 = ((𝑀𝐵)𝐿𝐵))
2924, 28eleqtrrd 2703 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴𝐷)
3015, 29pm2.61dane 2880 1 (𝜑𝐴𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793  ran crn 5113  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  distcds 15944  TarskiGcstrkg 25323  Itvcitv 25329  LineGclng 25330  pInvGcmir 25541 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-pm 7857  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-xnn0 11361  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-hash 13113  df-word 13294  df-concat 13296  df-s1 13297  df-s2 13587  df-s3 13588  df-trkgc 25341  df-trkgb 25342  df-trkgcb 25343  df-trkg 25346  df-cgrg 25400  df-mir 25542 This theorem is referenced by:  opphl  25640
 Copyright terms: Public domain W3C validator