MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirln2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirln2 25566
Description: If a point and its mirror point are both on the same line, so is the center of the point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirln2.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirln2.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
mirln2.a (𝜑𝐴𝑃)
mirln2.1 (𝜑𝐵𝐷)
mirln2.2 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
mirln2 (𝜑𝐴𝐷)

Proof of Theorem mirln2
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirln2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
8 mirln2.m . . . . 5 𝑀 = (𝑆𝐴)
9 mirln2.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
10 mirln2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
111, 4, 3, 6, 9, 10tglnpt 25438 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11mirinv 25555 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝐵) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
1312biimpa 501 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
1410adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐵) → 𝐵𝐷)
1513, 14eqeltrd 2700 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) = 𝐵) → 𝐴𝐷)
166adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17 mirln2.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝐷)
181, 4, 3, 6, 9, 17tglnpt 25438 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝑃)
1918adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀𝐵) ∈ 𝑃)
2011adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐵𝑃)
217adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴𝑃)
22 simpr 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀𝐵) ≠ 𝐵)
231, 2, 3, 4, 5, 16, 21, 8, 20mirbtwn 25547 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝐵)𝐼𝐵))
241, 3, 4, 16, 19, 20, 21, 22, 23btwnlng1 25508 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝐵)𝐿𝐵))
259adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2617adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → (𝑀𝐵) ∈ 𝐷)
2710adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐵𝐷)
281, 3, 4, 16, 19, 20, 22, 22, 25, 26, 27tglinethru 25525 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐷 = ((𝑀𝐵)𝐿𝐵))
2924, 28eleqtrrd 2703 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵) ≠ 𝐵) → 𝐴𝐷)
3015, 29pm2.61dane 2880 1 (𝜑𝐴𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  ran crn 5113  cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  distcds 15944  TarskiGcstrkg 25323  Itvcitv 25329  LineGclng 25330  pInvGcmir 25541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-pm 7857  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-xnn0 11361  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-hash 13113  df-word 13294  df-concat 13296  df-s1 13297  df-s2 13587  df-s3 13588  df-trkgc 25341  df-trkgb 25342  df-trkgcb 25343  df-trkg 25346  df-cgrg 25400  df-mir 25542
This theorem is referenced by:  opphl  25640
  Copyright terms: Public domain W3C validator