MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglinethru Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglinethru 25448
Description: If 𝐴 is a line containing two distinct points 𝑃 and 𝑄, then 𝐴 is the line through 𝑃 and 𝑄. Theorem 6.18 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineelsb2.p 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1 (𝜑𝑃𝐵)
tglineelsb2.2 (𝜑𝑄𝐵)
tglineelsb2.4 (𝜑𝑃𝑄)
tglinethru.0 (𝜑𝑃𝑄)
tglinethru.1 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglinethru.2 (𝜑𝑃𝐴)
tglinethru.3 (𝜑𝑄𝐴)
Assertion
Ref Expression
tglinethru (𝜑𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))

Proof of Theorem tglinethru
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineelsb2.p . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 tglineelsb2.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 tglineelsb2.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglineelsb2.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad4antr 767 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 simp-4r 806 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥𝐵)
7 simpllr 798 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑦𝐵)
8 simplrr 800 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥𝑦)
9 tglineelsb2.2 . . . . . 6 (𝜑𝑄𝐵)
109ad4antr 767 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄𝐵)
11 tglinethru.0 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝑄)
1211ad4antr 767 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃𝑄)
1312necomd 2845 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄𝑃)
14 simpr 477 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 = 𝑥)
1513, 14neeqtrd 2859 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄𝑥)
16 tglinethru.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑄𝐴)
1716ad4antr 767 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄𝐴)
18 simplrl 799 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
1917, 18eleqtrd 2700 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
201, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19tglineelsb2 25444 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝐿𝑄))
2114oveq1d 6625 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑥𝐿𝑄))
2220, 18, 213eqtr4d 2665 . . 3 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
23 simplrl 799 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
244ad4antr 767 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25 simp-4r 806 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑥𝐵)
26 simpllr 798 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑦𝐵)
27 simplrr 800 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑥𝑦)
28 tglineelsb2.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝐵)
2928ad4antr 767 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑃𝐵)
30 simpr 477 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑃𝑥)
31 tglinethru.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝐴)
3231ad4antr 767 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑃𝐴)
3332, 23eleqtrd 2700 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑃 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
341, 2, 3, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 33tglineelsb2 25444 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝐿𝑃))
3530necomd 2845 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑥𝑃)
361, 2, 3, 24, 25, 29, 35tglinecom 25447 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → (𝑥𝐿𝑃) = (𝑃𝐿𝑥))
3723, 34, 363eqtrd 2659 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑥))
389ad4antr 767 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑄𝐵)
3911ad4antr 767 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑃𝑄)
4039necomd 2845 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑄𝑃)
4116ad4antr 767 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑄𝐴)
4241, 37eleqtrd 2700 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐿𝑥))
431, 2, 3, 24, 29, 25, 30, 38, 40, 42tglineelsb2 25444 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → (𝑃𝐿𝑥) = (𝑃𝐿𝑄))
4437, 43eqtrd 2655 . . 3 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
4522, 44pm2.61dane 2877 . 2 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
46 tglinethru.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
471, 2, 3, 4, 46tgisline 25439 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦))
4845, 47r19.29vva 3074 1 (𝜑𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  ran crn 5080  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15792  TarskiGcstrkg 25246  Itvcitv 25252  LineGclng 25253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-concat 13248  df-s1 13249  df-s2 13538  df-s3 13539  df-trkgc 25264  df-trkgb 25265  df-trkgcb 25266  df-trkg 25269  df-cgrg 25323
This theorem is referenced by:  tghilberti2  25450  tglineintmo  25454  colline  25461  tglowdim2ln  25463  mirln  25488  mirln2  25489  perpneq  25526  ragperp  25529  footex  25530  perpdragALT  25536  perpdrag  25537  colperp  25538  opphllem1  25556  opphllem2  25557  opphllem3  25558  opphllem4  25559  opphllem5  25560  opphllem6  25561  oppperpex  25562  opphl  25563  hpgerlem  25574  colhp  25579  lmiisolem  25605  acopy  25641  acopyeu  25642
  Copyright terms: Public domain W3C validator