Theorem numclwwlk1lem2fo 28137

Description: 𝑇 is an onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.) (Revised by AV, 31-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
numclwwlk.t	⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk1lem2fo	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑢,𝐶   𝑢,𝐹   𝑢,𝐺,𝑤   𝑢,𝑁   𝑢,𝑉   𝑢,𝑋   𝑢,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2fo

Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑝 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extwwlkfab.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		extwwlkfab.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3		extwwlkfab.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
4		numclwwlk.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
5	1, 2, 3, 4	numclwwlk1lem2f 28134	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
6		elxp 5578	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
7	1, 2, 3	numclwwlk1lem2foa 28133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
8	7	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
9	8	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
10	9	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
11		simpl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
12		fveq2 6670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)))
13	12	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑝 = (𝑇‘𝑥) ↔ 𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩))))
14	1, 2, 3, 4	numclwwlk1lem2fv 28135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
15	14	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
16	15	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → (𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
17	13, 16	sylan9bbr 513	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) ∧ 𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) → (𝑝 = (𝑇‘𝑥) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
18		simprll 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → 𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
19	1	nbgrisvtx 27123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑏 ∈ 𝑉)
20	3	eleq2i 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐹 ↔ 𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
21		uz3m2nn 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
22	21	nnne0d 11688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
23	22	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
24		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
25	1, 24	clwwlknonel 27874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 − 2) ≠ 0 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
27	20, 26	syl5bb 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑎 ∈ 𝐹 ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
28		df-3an 1085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
29	27, 28	syl6bb 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑎 ∈ 𝐹 ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
30		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
31		s1cl 13956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
32	31	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
33	32	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
34	33	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
35		s1cl 13956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
36	35	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
37		ccatass 13942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) = (𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)))
38	37	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) prefix (𝑁 − 2)))
39	30, 34, 36, 38	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) prefix (𝑁 − 2)))
40		ccatcl 13926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
41	33, 35, 40	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
42		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))
43	42	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑎))
44	43	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑎))
45	44	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑎))
46		pfxccatid 14103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) = (♯‘𝑎)) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑎)
47	30, 41, 45, 46	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) prefix (𝑁 − 2)) = 𝑎)
48	39, 47	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑎 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)))
49		1e2m1 11765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 1 = (2 − 1)
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 = (2 − 1))
51	50	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
52		eluzelcn 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
53		2cnd 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
54		1cnd 10636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℂ)
55	52, 53, 54	subsubd 11025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
56	51, 55	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
57	56	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
58	57	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
59	58	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
60	59	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)))
61		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)))
62		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
63	62	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
64		ccatw2s1p2 13997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑏)
65	61, 63, 64	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑏)
66	60, 65	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑏 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)))
67	48, 66	opeq12d 4811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
68	67	exp31 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
69	68	3ad2antl1 1181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
70	69	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
71	70	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
72	71	3adant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
73	29, 72	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑎 ∈ 𝐹 → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
74	73	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝐹 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
75	19, 74	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑎 ∈ 𝐹 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
76	75	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐹 → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
77	76	imp 409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
78	77	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
79	78	imp 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
80	79	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
81	18, 80	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) prefix (𝑁 − 2)), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
82	11, 17, 81	rspcedvd 3626	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
83	10, 82	mpancom 686	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
84	83	ex 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
85	84	exlimivv 1933	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
86	6, 85	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
87	86	impcom 410	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
88	87	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ∀𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
89		dffo3 6868	. 2 ⊢ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
90	5, 88, 89	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142  {cpr 4569  ⟨cop 4573   ↦ cmpt 5146   × cxp 5553  ⟶wf 6351  –onto→wfo 6353  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   − cmin 10870  2c2 11693  3c3 11694  ℤ_≥cuz 12244  ..^cfzo 13034  ♯chash 13691  Word cword 13862  lastSclsw 13914   ++ cconcat 13922  ⟨“cs1 13949   prefix cpfx 14032  Vtxcvtx 26781  Edgcedg 26832  USGraphcusgr 26934   NeighbVtx cnbgr 27114  ClWWalksNOncclwwlknon 27866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-lsw 13915  df-concat 13923  df-s1 13950  df-substr 14003  df-pfx 14033  df-edg 26833  df-upgr 26867  df-umgr 26868  df-usgr 26936  df-nbgr 27115  df-wwlks 27608  df-wwlksn 27609  df-clwwlk 27760  df-clwwlkn 27803  df-clwwlknon 27867

This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2f1o  28138