Theorem eluzelcn 11911

Description: A member of an upper set of integers is a complex number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelcn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Proof of Theorem eluzelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 11910	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10280	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  ℂcc 10146  ℤ_≥cuz 11899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6817  df-neg 10481  df-z 11590  df-uz 11900

This theorem is referenced by:  uzp1  11934  peano2uzr  11956  uzaddcl  11957  eluzgtdifelfzo  12744  fzosplitpr  12791  fldiv4lem1div2uz2  12851  mulp1mod1  12925  seqm1  13032  bcval5  13319  swrdfv2  13666  relexpaddg  14012  shftuz  14028  seqshft  14044  climshftlem  14524  climshft  14526  isumshft  14790  dvdsexp  15271  pclem  15765  efgtlen  18359  dvradcnv  24394  clwwlkext2edg  27207  clwwlknonex2lem1  27277  clwwlknonex2lem2  27278  clwwlknonex2  27279  extwwlkfablem1OLD  27518  2clwwlk2clwwlk  27528  numclwlk1lem2foalem  27531  numclwlk1lem2fo  27538  numclwwlk2  27563  numclwwlk2OLD  27570  nn0prpwlem  32644  rmspecsqrtnq  37990  rmspecsqrtnqOLD  37991  rmxm1  38019  rmym1  38020  rmxluc  38021  rmyluc  38022  rmyluc2  38023  jm2.17a  38047  relexpaddss  38530  trclfvdecomr  38540  binomcxplemnn0  39068  stoweidlem14  40752  fmtnorec3  41988  lighneallem4a  42053  lighneallem4b  42054  evengpop3  42214  evengpoap3  42215  nnsum4primeseven  42216  nnsum4primesevenALTV  42217  expnegico01  42836  dignn0ldlem  42924  dignnld  42925  digexp  42929  dig1  42930  nn0sumshdiglemB  42942