Theorem eluzelcn 12256

Description: A member of an upper set of integers is a complex number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelcn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Proof of Theorem eluzelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12255	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10669	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  ℂcc 10535  ℤ_≥cuz 12244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363  df-ov 7159  df-neg 10873  df-z 11983  df-uz 12245

This theorem is referenced by:  uzp1  12280  peano2uzr  12304  uzaddcl  12305  eluzgtdifelfzo  13100  fzosplitpr  13147  fldiv4lem1div2uz2  13207  mulp1mod1  13281  seqm1  13388  bcval5  13679  swrdfv2  14023  relexpaddg  14412  shftuz  14428  seqshft  14444  climshftlem  14931  climshft  14933  isumshft  15194  dvdsexp  15677  pclem  16175  efgtlen  18852  dvradcnv  25009  logbgcd1irr  25372  clwwlkext2edg  27835  clwwlknonex2lem1  27886  clwwlknonex2lem2  27887  clwwlknonex2  27888  2clwwlk2clwwlk  28129  numclwwlk1lem2foalem  28130  numclwwlk1lem2fo  28137  numclwwlk2  28160  nn0prpwlem  33670  rmspecsqrtnq  39523  rmxm1  39551  rmym1  39552  rmxluc  39553  rmyluc  39554  rmyluc2  39555  jm2.17a  39577  relexpaddss  40083  trclfvdecomr  40093  binomcxplemnn0  40701  stoweidlem14  42319  fmtnorec3  43730  lighneallem4a  43793  lighneallem4b  43794  evengpop3  43983  evengpoap3  43984  nnsum4primeseven  43985  nnsum4primesevenALTV  43986  expnegico01  44593  dignn0ldlem  44682  dignnld  44683  digexp  44687  dig1  44688  nn0sumshdiglemB  44700