Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nv0 27462
 Description: Zero times a vector is the zero vector. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nv0.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nv0.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nv0.6 𝑍 = (0vec𝑈)
Assertion
Ref Expression
nv0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem nv0
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . . 4 (1st𝑈) = (1st𝑈)
21nvvc 27440 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (1st𝑈) ∈ CVecOLD)
3 eqid 2620 . . . . 5 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
43vafval 27428 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = (1st ‘(1st𝑈))
5 nv0.4 . . . . 5 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
65smfval 27430 . . . 4 𝑆 = (2nd ‘(1st𝑈))
7 nv0.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
87, 3bafval 27429 . . . 4 𝑋 = ran ( +𝑣𝑈)
9 eqid 2620 . . . 4 (GId‘( +𝑣𝑈)) = (GId‘( +𝑣𝑈))
104, 6, 8, 9vc0 27399 . . 3 (((1st𝑈) ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = (GId‘( +𝑣𝑈)))
112, 10sylan 488 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = (GId‘( +𝑣𝑈)))
12 nv0.6 . . . 4 𝑍 = (0vec𝑈)
133, 120vfval 27431 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 = (GId‘( +𝑣𝑈)))
1413adantr 481 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 𝑍 = (GId‘( +𝑣𝑈)))
1511, 14eqtr4d 2657 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  1st c1st 7151  0cc0 9921  GIdcgi 27314  CVecOLDcvc 27383  NrmCVeccnv 27409   +𝑣 cpv 27410  BaseSetcba 27411   ·𝑠OLD cns 27412  0veccn0v 27413 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064  df-grpo 27317  df-gid 27318  df-ginv 27319  df-ablo 27369  df-vc 27384  df-nv 27417  df-va 27420  df-ba 27421  df-sm 27422  df-0v 27423  df-nmcv 27425 This theorem is referenced by:  nvmul0or  27475  nvz0  27493  nvge0  27498  ipasslem1  27656  hlmul0  27735
 Copyright terms: Public domain W3C validator