Theorem obslbs 20874

Description: An orthogonal basis is a linear basis iff the span of the basis elements is closed (which is usually not true). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
obslbs.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
obslbs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
obslbs.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obslbs	⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶))

Proof of Theorem obslbs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		obsrcl 20867	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	obsss 20868	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
4		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
5		obslbs.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	2, 4, 5	ocvlsp 20820	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)) = ((ocv‘𝑊)‘𝐵))
7	1, 3, 6	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)) = ((ocv‘𝑊)‘𝐵))
8	7	fveq2d 6674	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵))) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
9	4, 2	obs2ocv 20871	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)) = (Base‘𝑊))
10	8, 9	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵))) = (Base‘𝑊))
11	10	eqeq2d 2832	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((𝑁‘𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵))) ↔ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
12		obslbs.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
13	4, 12	iscss 20827	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ (𝑁‘𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)))))
14	1, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ (𝑁‘𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)))))
15		phllvec 20773	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
16	1, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ LVec)
17		pssnel 4420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊊ 𝐵 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
18	17	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
19		simpll 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊))
20		pssss 4072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ⊊ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐵)
21	20	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
22		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
23	4	obselocv 20872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
25		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
26	25	obsne0 20869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
27	19, 22, 26	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
28		nelsn 4605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ≠ (0g‘𝑊) → ¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)})
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)})
30		nelne1 3113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)}) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)})
31	30	expcom 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)} → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)}))
32	29, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)}))
33	24, 32	sylbird 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)}))
34		npss 4087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊) ↔ ((𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊) → (𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊)))
35		phllmod 20774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
36	1, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ LMod)
37	36	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
38	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
39	21, 38	sstrd 3977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
40	2, 5	lspssv 19755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊))
41	37, 39, 40	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊))
42		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))
43	1	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ PreHil)
44	2, 4, 5	ocvlsp 20820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘𝑥))
45	43, 39, 44	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘𝑥))
46	2, 4, 25	ocv1 20823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = {(0g‘𝑊)})
47	43, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = {(0g‘𝑊)})
48	45, 47	eqeq12d 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) ↔ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
49	42, 48	syl5ib 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
50	41, 49	embantd 59	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊) → (𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
51	34, 50	syl5bi 244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
52	51	necon1ad 3033	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)} → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
53	33, 52	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
54	53	expimpd 456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
55	54	exlimdv 1934	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
56	18, 55	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))
57	56	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
58	57	alrimiv 1928	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
59		obslbs.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
60	2, 59, 5	islbs3 19927	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))))
61		3anan32 1093	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ↔ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
62	60, 61	syl6bb 289	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊))))
63	62	baibd 542	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
64	16, 3, 58, 63	syl12anc 834	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
65	11, 14, 64	3bitr4rd 314	1 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083  ∀wal 1535   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   ⊆ wss 3936   ⊊ wpss 3937  {csn 4567  ‘cfv 6355  Basecbs 16483  0_gc0g 16713  LModclmod 19634  LSpanclspn 19743  LBasisclbs 19846  LVecclvec 19874  PreHilcphl 20768  ocvcocv 20804  ClSubSpccss 20805  OBasiscobs 20846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-ghm 18356  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-rnghom 19467  df-drng 19504  df-staf 19616  df-srng 19617  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lmhm 19794  df-lbs 19847  df-lvec 19875  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-phl 20770  df-ocv 20807  df-css 20808  df-obs 20849

This theorem is referenced by: (None)