Theorem phllmod 20023

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 20022	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 19154	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2030  LModclmod 18911  LVecclvec 19150  PreHilcphl 20017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-nul 4822

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-iota 5889  df-fv 5934  df-ov 6693  df-lvec 19151  df-phl 20019

This theorem is referenced by:  iporthcom  20028  ip0l  20029  ip0r  20030  ipdir  20032  ipdi  20033  ip2di  20034  ipsubdir  20035  ipsubdi  20036  ip2subdi  20037  ipass  20038  ipassr  20039  ip2eq  20046  phssip  20051  ocvlss  20064  ocvin  20066  ocvlsp  20068  ocvz  20070  ocv1  20071  lsmcss  20084  pjdm2  20103  pjff  20104  pjf2  20106  pjfo  20107  ocvpj  20109  obselocv  20120  obslbs  20122  tchclm  23077  ipcau2  23079  tchcphlem1  23080  tchcphlem2  23081  tchcph  23082  pjth  23256